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Polardarstellung komplexer Zahlen 11. Schulstufe Polardarstellung komplexer Zahlen Theorie Im vorherigen Kapitel wurde beschrieben, wie komplexe Zahlen als Vektoren interpretiert werden ko¨nnen. Die Angabe des Real- und Imagina¨rteils macht den Vektor und die komplexe Zahl eindeutig. Eine weitere Mo¨glichkeit, wie eine komplexe Zahl angegeben werden kann ist durch Ermittlung des Winkels, den der Vektor mit der positiven reellen Achse einschließt, und der Bestimmung dessen genauer La¨nge. Re Im 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 0 a ϕ r Im(a) Re(a) Aus dieser Zeichnung mu¨ssen also r undϕbestimmt werden, wobei r (was u¨brigens auch als derBetrag von a – geschrieben |a| – bezeichnet wird) problemlos mit demLehrsatz des Pythagoras bestimmt werden kann: r2= Im(a)2+Re(a)2, also gilt r= √ Im(a)2+Re(a)2 Außerdem sollte von den Winkelfunktionen bekannt sein, dass sich der Tangens des Winkelsϕ aus dem Quotienten von Imagina¨r- und Realteil vona errechnen la¨sst. Daraus folgt weiter fallsRe(a) 6= 0: tan(ϕ) = Im(a) Re(a) also giltϕ=arctan ( Im(a) Re(a) ) Hier muss jedoch darauf geachtet werden die Winkel, entsprechend den Regeln der Trigonometrie, in die jeweiligen vier Quadranten einzuteilen und daru¨ber hinaus dafu¨r zu sorgen, dassϕ∈ [0◦;360◦) ist. So wu¨rden beispielsweise komplexe Zahlen im ersten und dritten Quadranten aufgrund der jeweils gleichen Vorzeichen von Real- und Imagina¨rteil bei blanker Berechnung den gleichen Winkel liefern, welcher noch hinterfragt werden muss. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer