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Polardarstellung komplexer Zahlen 11. Schulstufe
Polardarstellung komplexer Zahlen
Theorie
Im vorherigen Kapitel wurde beschrieben, wie komplexe Zahlen als Vektoren interpretiert
werden ko¨nnen. Die Angabe des Real- und Imagina¨rteils macht den Vektor und die
komplexe Zahl eindeutig. Eine weitere Mo¨glichkeit, wie eine komplexe Zahl angegeben
werden kann ist durch Ermittlung des Winkels, den der Vektor mit der positiven reellen
Achse einschließt, und der Bestimmung dessen genauer La¨nge.
Re
Im
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
0 a
ϕ r
Im(a)
Re(a)
Aus dieser Zeichnung mu¨ssen also r undϕbestimmt werden, wobei r (was u¨brigens auch
als derBetrag von a – geschrieben |a| – bezeichnet wird) problemlos mit demLehrsatz
des Pythagoras bestimmt werden kann:
r2= Im(a)2+Re(a)2,
also gilt r= √
Im(a)2+Re(a)2
Außerdem sollte von den Winkelfunktionen bekannt sein, dass sich der Tangens des
Winkelsϕ aus dem Quotienten von Imagina¨r- und Realteil vona errechnen la¨sst. Daraus
folgt weiter fallsRe(a) 6= 0:
tan(ϕ) = Im(a)
Re(a)
also giltϕ=arctan (
Im(a)
Re(a) )
Hier muss jedoch darauf geachtet werden die Winkel, entsprechend den Regeln der
Trigonometrie, in die jeweiligen vier Quadranten einzuteilen und daru¨ber hinaus dafu¨r zu
sorgen, dassϕ∈ [0◦;360◦) ist. So wu¨rden beispielsweise komplexe Zahlen im ersten und
dritten Quadranten aufgrund der jeweils gleichen Vorzeichen von Real- und Imagina¨rteil
bei blanker Berechnung den gleichen Winkel liefern, welcher noch hinterfragt werden
muss.
Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer
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Mathematik Unterrichtseinheiten
11. Schulstufe
- Title
- Mathematik Unterrichtseinheiten
- Authors
- Michael Hubmann
- Helmut Zöhrer
- Publisher
- Austria-Forum
- Location
- Graz
- Language
- German
- License
- CC BY-SA 3.0
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 55
- Categories
- Dokumente Unterrichtsmaterialien
Table of contents
- Aufstellen von Polynomfunktionen 1
- Binomialkoeffizient 3
- Binomialverteilung 5
- Extrema 7
- Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 10
- Berechnung von Extremstellen in endlichen Intervallen 13
- Funktionen und ihre zugehörige Ableitungsfunktion 15
- Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 18
- Monotonie 20
- Polynomdivision 23
- Relative Häufigkeit 26
- Sattelpunkt 28
- Skizzieren von Funktionen anhand der Ableitung 30
- Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion 31
- Wendepunkt 35
- Zufallsvariable 38
- Komplexe Zahlen: Allgemeines 40
- Multiplikation komplexer Zahlen in Polardarstellung 43
- Polardarstellung komplexer Zahlen 45
- Geometrische Deutung komplexer Zahlen 48
- Lösen quadratischer Gleichungen in C 50
- Die imaginäre Einheit 53