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Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 11. Schulstufe Mittelwert, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Theorie In diesem Kapitel werden wir uns mit unterschiedlichen Kennzahlen bescha¨ftigen. Diexi beschreiben dabei die Werte der jeweiligen Ereignisse selbst. Wir beginnen mit dem (gewichteten) Mittelwert. Mittelwert Das gewichtete Mittel x la¨sst sich mithilfe der Werte xi (wobei i= 1, ...,k) und den zugeho¨rigen relativen Ha¨ufigkeitenhn(xi) wie folgt berechnen: x=x1 ·hn(x1)+x2 ·hn(x2)+ ....+xk ·hn(xk) Die relative Ha¨ufigkeit bestimmt also, mit welchem Maß ein Wertxi in die Berechnung des Mittelwerts einfließt. Der Begriff des Mittelwerts fu¨hrt uns zum nahestehenden Begriff des Erwartungswerts: Erwartungswert Der Erwartungswertµwird mithilfe der Wertexi (wobei i= 1, ...,k) und den zugeho¨rigen Wahrscheinlichkeiten pi wie folgt berechnet: µ=x1 ·p1+x2 ·p2+ ....+xk ·pk Der Erwartungswert entspricht also weitestgehend dem Mittelwert. Der Mittelwert na¨hert sich dem Erwartungswert mit einer zunehmenden Versuchszahln immer weiter an (vergleiche dazu das Kapitel u¨ber die relative Ha¨ufigkeit). Der Erwartungswert ist jedoch unterschiedlich aussagekra¨ftig. Um zu messen wie aussagekra¨ftig er ist, verwenden wir die Varianz bzw. die Standardabweichung. Varianz und Standardabweichung Wie der Erwartungswert, baut auch die Varianz zuna¨chst auf relativen Ha¨ufigkeiten auf. Wir erhalten die sogenannte empirische Varianz s2 wie folgt: s2= (x1−x)2 ·hn(x1)+(x2−x)2 ·hn(x2)+ ...+(xk−x)2 ·hn(xk) Wir beno¨tigen fu¨r die Berechnung also zuna¨chst den Mittelwert. Um die empirische Standardabweichung s zu erhalten, rechnen wir: s= √ (x1−x)2 ·hn(x1)+(x2−x)2 ·hn(x2)+ ...+(xk−x)2 ·hn(xk) Von diesen U¨berlegungen ausgehend ko¨nnen wir nun die Varianz sowie die Standardabwe- ichung berechnen. Wir verwenden die gleichen U¨berlegungen wie beim Erwartungswert und ersetzen die relative Ha¨ufigkeit durch die Wahrscheinlichkeit bzw. den Mittelwert durch den Erwartungswert. So errechnet sich die Varianzσ2 wie folgt: σ2= (x1−µ)2 ·p1)+(x2−µ)2 ·p2+ ...+(xk−µ)2 ·pk Die Standardabweichungσ erhalten wir daraus mittels: σ= √ σ2 Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer