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Funktionen und ihre zugeho¨rigeAbleitungsfunktion 11. Schulstufe Funktionen und ihre zugeho¨rige Ableitungsfunktion Theorie In diesem Kapitel wollen wir zuerst aus einem gegebenen Graphen einer beliebigen Funk- tion seine Ableitungsfunktion konstruieren. Wir werden dazu die Bewegung eines Ko¨rpers betrachten. Die betrachtete Funktion selbst steht dabei fu¨r den zuru¨ckgelegten Weg zu einer gewissen Zeit, es handelt sich also um eine sogenannte Zeit-Ort-Funktion. Wir be- trachten zuerst ein Beispiel, bei welchem wir zum Graphen die Ableitungsfunktion finden wollen. Danach werden wir den umgekehrten Weg gehen und zur Ableitungsfunktion die zugeho¨rige Funktion rekonstruieren. Beispiel Wir betrachten beispielhaft folgenden Funktionsgraphen, welcher die Bewegung eines Autos beschreibt (der y-Wert s(t) steht dabei fu¨r den zuru¨ckgelegten Weg zu einer bestimmten Zeiteinheit, die x-Achse beschreibt die Zeit t): In jener Funktion sind bereits einige wichtige Punkte markiert. Jene Punkte sind zum einen Extrema, also Punkte bzw. Bereiche, bei welchen die Ableitung gleich 0 ist, also jene Punkte bzw. Bereiche bei welchen sich das Auto nicht bewegt. Das sind die Punkte A,B undC, sowie der Bereich zwischenAundB bei welchem der Autofahrer eine kurze Verschnaufpause einlegt. Wir wissen hier also, dass in jenem Bereich die Ableitungsfunk- tion konstant 0 ist. Nun wissen wir, wo unsere Nullstellen der Ableitungsfunktion liegen. Um diese skizzieren zu ko¨nnen, beno¨tigen wir jedoch mehr Informationen. Eine solche Informationsquelle sind jene Bereiche, in welchen die Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend ist. Unser Graph wa¨re vom Ursprung bisA streng monoton steigend, zwischenAundB, wie bereits erforscht, konstant, vonB bisC streng monoton fallend und abCwieder streng monoton steigend. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer