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Binomialverteilung 11. Schulstufe Binomialverteilung Theorie Ausgangspunkt fu¨r die Binomialverteilung ist ein sogenanntes Bernoulli-Experiment. Dieses Experiment wird n-mal durchgefu¨hrt. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es zwei Ausga¨nge besitzt und, dass jeder Versuchsdurchgang unter den gleichen Bedingungen durchgefu¨hrt wird. Bei jedem Durchgang tritt ein bestimmtes EreignisE mit einer Wahrscheinlichkeit p ein bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit von (1−p) nicht ein. InderRegelsindwirdaraninteressiert,wieofteinEreignisEbeinVersuchsdurchfu¨hrungen eintritt. Wir erhalten folgende Formel: P(X=k) = ( n k ) ·pk ·(1−p)n−k Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die AnzahlX der eintretenden Ereignisse genauk ist. Mit jener Formel kann man also die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass bein Durchfu¨hrungen eines Versuchs das Ereignis genau k-mal eintritt und (n−k)-mal nicht eintritt. Es gilt 06k6n, wobei k∈N. Ferner muss fu¨r die Erfolgswahrscheinlichkeit p gelten, dass 06p61 ist. Ha¨ufig sind wir jedoch nicht genau an einem Fall P(X = k) interessiert. Es kann beispielsweise auch die Wahrscheinlichkeit vonP(X6 k) oderP(X> k) von gesucht sein. In einem solchen Kontext gilt es oft mit Gegenwahrscheinlichkeiten zu arbeiten. Siehe dazu das unten angefu¨hrte Beispiel. Theoretisch gilt Folgendes: P(X6k) =P(X= 0)+P(X= 1)+ ...+P(X=k) P(X<k) =P(X= 0)+P(X= 1)+ ...+P(X=k−1) P(X>k) =P(X=k)+P(X=k+1)+ ...+P(X=n) P(X>k) =P(X=k+1)+P(X=k+2)+ ...+P(X=n) Unter Zuhilfenahme der Gegenwahrscheinlichkeit gilt außerdem: P(X6k) = 1−P(X>k) P(X<k) = 1−P(X>k) P(X>k) = 1−P(X<k) P(X>k) = 1−P(X6k) Erwartungswert undVarianz Der Erwartungswert und die Varianz sind im Kontext der Binomialverteilung wie folgt zu berechnen: µ=n ·p σ2=n ·p ·(1−p) Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer