Seite - 31 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Untersuchung desMonotonieverhaltens einer Funktion 11. Schulstufe Untersuchung des Monotonieverhaltens einer Funktion Theorie Zu den uns bereits bekannten Definitionen von Monotonieverhalten erga¨nzen wir das Folgende: Definition Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I, wobei I eine Teilmenge des Definitionsbere- iches der Funktion ist • strengmonoton steigend, wenn f′(x)> 0 fu¨r alle x aus dem inneren Bereich von I ist, bzw. • strengmonoton fallend, wenn f′(x)<0 fu¨r alle x aus dem inneren Bereich von I ist. Schritt fu¨r Schritt zur Monotonie Wieko¨nnenwirnunrechnerisch feststellen, inwelchenIntervallenunserezuuntersuchende Funktion (streng) monoton fallend oder (streng) monoton steigend ist? Schritt 1: Hier mu¨ssen wir u¨berpru¨fen, ob unsere Funktion u¨berhaupt durchgehend definiert ist. Die Funktion fmit f(x) = 1/x ist beispielsweise inx= 0 nicht definiert. Alsomu¨ssenwirumdiesenPunktherumIntervallebildenumdieFunktionzuuntersuchen (siehe dazu das 2. Beispiel). Ist die Funktion durchgehend definiert, so kann Schritt 1 u¨bersprungen werden. Schritt 2: Im na¨chsten Schritt versuchen wir die Extremstellen der Funktion zu finden. Diese erhaltenwir, wiebereitsbekannt, indemwirdie1. Ableitungder zuuntersuchenden Funktion gleich 0 setzen. Wir berechnen also die Nullstellen der 1. Ableitung mittels f′(x) = 0. Aber warum interessieren uns gerade diese Stellen? U¨berlege kurz selbst! Im na¨chsten Absatz gibt es die Auflo¨sung! Die Idee hinter diesem Vorgehen ist, dass Extremstellen angeben wo sich das Mono- tonieverhalten der Funktion a¨ndert, also z.B. wo es einen U¨bergang von streng monoton steigend zu streng monoton fallend gibt. Zwischen zwei Extremstellen hat eine Funktion dasselbe Monotonieverhalten, da eine A¨nderung des Monotonieverhaltens in einer weit- eren Extremstelle im Intervall resultieren wu¨rde. Abha¨ngig davon ob wir Extremstellen gefunden haben oder nicht, gehen wir zu Schritt 3a (keine gefunden) oder zu Schritt 3b (welche gefunden) u¨ber. Schritt 3a: Dies ist der einfachere Fall. Da es hier keine Extremstellen gibt, mu¨ssen wir die oben erwa¨hnte Unterteilung in Intervalle nicht vornehmen. Wir suchen lediglich einen x-Wert aus dem Intervall und setzen diesen in die Ableitung der Funktion ein. Ist f′(x)> 0, so ist die Funktion f streng monoton wachend; ist f′(x)< 0 so ist die Funktion f streng monoton fallend. Schritt 3b: Hier haben wir ein wenig mehr zu tun. Wir mu¨ssen nun abha¨ngig von der Anzahl der gefundenen Nullstellen die daraus resultierenden Intervalle untersuchen. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer