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Komplexe Zahlen: Allgemeines 11. Schulstufe Multiplikation (a,b) ·(c,d) =(ac−bd,ad+bc) Beweis: (a,b) ·(c,d) =(a+ ib) ·(c+ id) =ac+ iad+ ibc+ −1︷︸︸︷ i2 bd =ac−bd+ iad+ ibc= (ac−bd)+ i(ad+bc) =(ac−bd,ad+bc) Division Wie in den reellen Zahlen ist auch in diesem Kontext die Division durch null verboten. Es gilt also (a,b) (c,d) = ( ac+bd c2+d2 , bc−ad c2+d2 ) wenn c2+d2 6= 0. Bei komplexen Bru¨chen versucht man stets reelle Nenner zu erhalten. Dabei wird der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl (c,−d) des Nenners (c,d) erweitert. Wie genau das gemeint ist, verra¨t der Beweis: (a,b) (c,d) = (a,b) ·(c,−d) (c,d) ·(c,−d) = (ac+bd,bc−ad) (c2+d2,−cd+cd︸ ︷︷ ︸ 0 ) = (ac+bd,bc−ad) c2+d2 = (ac+bd)+ i(bc−ad) c2+d2 = ac+bd c2+d2 + i · bc−ad c2+d2 = ( ac+bd c2+d2 , bc−ad c2+d2 ) Nach dem zweiten Gleichheitszeichen erhalten wir im Nenner eine komplexe Zahl mit Imagina¨rteil null, was einer reellen Zahl gleichkommt. Beispiel Gegeben sind zwei komplexe Zahlenx und ymitx= 3−5ibzw. y= 4+ i. Berechnex+y,x−y,x ·y und xy. Lo¨sung: x= (3,−5) bzw. y= (4,1). x+y= (3,−5)+(4,1) =(3+4,−5+1) = (7,−4) =7−4i x−y= (3,−5)−(4,1) =(3−4,−5−1) = (−1,−6) =−1−6i x ·y= (3,−5) ·(4,1) = (3 ·4−(−5) ·1,3 ·1+(−5) ·4) = (12+5,3−20) = (17,−17) = 17−17i x y = (3,−5) (4,1) = ( 3 ·4+(−5) ·1 42+12 , (−5) ·4−3 ·1 42+12 ) = ( 12−5 16+1 , −20−3 16+1 ) = ( 7 17 , −23 17 ) = 7 17 − 23 17 i Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer