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Lo¨sen quadratischerGleichungen inC 11. Schulstufe Damit ist gezeigt, dass die gefundenen Lo¨sungen korrekt sind. Probe (anderer Ansatz): Genauso gut ha¨tte auch gezeigt werden ko¨nnen, dass f(x) = 1 2(x−x1)(x−x2) gilt. Der Faktor 12 steht deshalb dabei, weil es sich beim Polynom f(x) um ein nicht-normiertes handelt; das heißt, dass vor dem Glied mit der ho¨chsten Potenz nicht der Faktor 1 steht. Eine Division durch den zum ho¨chsten Glied geho¨renden Faktor wu¨rde ein normiertes Polynom liefern, welches die gleichen Nullstellen besitzt. Daher muss genau dieser Faktor bei der Linearfaktorzerlegung (genau darum handelt es sich bei dieser zweiten Probe) beru¨cksichtigt werden. 1 2 (x−x1)(x−x2) = 1 2 (x−(1+3i))(x−(1−3i)) = x2−x(1−3i)−x(1+3i)+(1+3i)(1−3i) 2 = x2−x+3ix−x−3ix+1+9 2 = x2−2x+10 2 = 1 2 x2−x+5 =f(x) Demnach ko¨nnen wir sicher sein, dass wir die richtigen Lo¨sungen erhalten haben. Theorie Anhand des gegebenen Beispiels sollte die allgemeine Vorgehensweise bereits ersichtlich sein: im Prinzip la¨uft alles wie gewohnt ab, bis zu dem Punkt, an dem negative Wurzeln ins Spiel kommen. Ein Polynom zweiten Grades (also mit 2 als ho¨chster Potenz) ax2+bx+c liefert die Nullstelle(n): x1,2 = −b±√b2−4ac 2a , wobei    zwei reelle Nullstellen existieren eine reelle Nullstelle existiert zwei komplexe Nullstellen existieren    wenn    √ b2−4ac>0√ b2−4ac= 0√ b2−4ac<0    gilt. Fu¨r die Auswertung in dem Fall, welcher zwei komplexe Nullstellen liefert, beno¨tigen wir die am Beginn dieses Kapitels angefu¨hrte Definition. So wird aus der Wurzel einer negativenZahldie imagina¨reEinheit imalderpositivenWurzeldermit−1multiplizierten Zahl. Danach muss nur noch ausgerechnet werden und du solltest auf die richtige Lo¨sung kommen. Spannend ist noch zu bemerken, dass der Fall, der zwei Lo¨sungen im Komplexen besitzt, jeweils genau zueinander konjugiert komplexe Zahlen als Lo¨sungen liefert. Als Probe kannst du die gefundenen Nullstellen einfach durch Einsetzen u¨berpru¨fen oder bei einer Linearfaktorzerlegung pru¨fen, ob fu¨r ein gegebenes Polynom f(x) = a2 ·x2+a1 ·x+a0 tatsa¨chlich f(x)=a2(x−x1)(x−x2) gilt, wobeix1 undx2 fu¨r die ermittelten Nullstellen stehen. Davon abgesehen sei erwa¨hnt, dass jede Polynomfunktion (es sei denn, sie ist konstant) komplexe Nullstellen besitzt. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer