Page - 11 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 11. Schulstufe f′(p2) = 0 gilt. Wir beno¨tigen also eine zusa¨tzlich Bedingung fu¨r ein Extremum, welche wir erhalten, wenn wir auf die Kru¨mmung von Funktionen zuru¨ckgreifen: Satz Es sei f :D→R eine reelle Funktion. Wir betrachten eine Teilmenge I vonD. Auf dieser Teilmenge liegt sodann ein: • lokales Minimum von f an der Stellexvor, wobei x aus dem inneren von I stammt, wenn f′(x) =0 und f′′(x)>0 gelten, bzw. ein • lokales Maximum von f an der Stellexvor, wobei x aus dem inneren von I stammt, wenn f′(x) =0 und f′′(x)<0 gelten. Gilt also, dass f′′(x) 6= 0 ist wobei x aus dem inneren von I stammt, dann befindet sich an der Stellex ein Extremum. Wie bereits erwa¨hnt, greifen wir bei jener U¨berlegung auf die Kru¨mmung zuru¨ck. Wenn wir die Rechtskru¨mmung betrachten wird klar, wieso bei der zusa¨tzlichen Bedingung f′′(x)<0 ein Maximum vorliegt: Durch die zusa¨tzliche Bedingung mit dem Kru¨mmungsverhalten, entsteht so garantiert ein Maximum. Eine a¨hnliche U¨berlegung kann dann anhand der folgenden Abbildung fu¨r das Minimum angestellt werden: Austria-Forum Michael Hubmann, Helmut Zo¨hrer