Page - 12 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Berechnung von Extrema anhand der Differentialrechnung 11. Schulstufe Des Weiteren ko¨nnen wir feststellen, dass auch eine A¨nderung des Monotonieverhaltens als Bedingung hinreichend ist. Wir formulieren folgenden Satz: Satz A¨ndert sich das Monotonieverhalten einer Funktion an der Stelle x, so existiert an dieser Stelle ein lokales Extremum. Beispiel Berechne die Extrema der folgenden Funktion: f(x) = 2x3−3x2 Wir berechnen zuerst die beno¨tigten Ableitungen: f′(x) =6x2−6x f′′(x) =12x−6 Wir suchen nun nach potenziellen Extremstellen, indem wir untersuchen fu¨r welche x gilt, dass f′(x) = 0 ist. 6x2–6x= 0⇔6x(x–1) = 0 Es gilt also, dass fu¨rx= 0 undx= 1 f′(x) =0 ist. Wir untersuchen nun ob beix= 0 tatsa¨chlich eine Extremstelle vorliegt: f′′(0) = 12∗0−6 =−6<0, also liegt hier eine Maximumsstelle vor. Das zugeho¨rige Maximum lautet:Max(0|0) Wir untersuchen nunx= 1: f′′(1) = 12−6 = 6>0, es liegt also eine Minimumsstelle vor. Das zugeho¨rige Minimum lautet:Min(1|−1) U¨bung Finde alle Extrema fu¨r folgende Funktionen: 1. f(x) = 2x2−4x+9 2. f(x) =x3−6x2+12x−5 Austria-Forum Michael Hubmann, Helmut Zo¨hrer