Page - 44 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Multiplikation komplexer Zahlen inPolardarstellung 11. Schulstufe Probe: Sehen wir uns die Zahlen aund b in der gewohnten Schreibweise an: a= 3 ·(cos(35◦)+ i ·sin(35◦)) = 3 ·(0,819+0,574i) = 2,457+1.721i und b= 4 3 ·(cos(80◦)+ i ·sin(80◦)) = 4 3 ·(0,174+0,985i) = 0,232+1.313i Demnach ist a = (2.457,1.721) und b = (0.232,1.313). Die Rechenregel aus dem Einfu¨hrungsteil zu den komplexen Zahlen liefert: (2.457,1.721) ·(0.232,1.313) =(2.457 ·0.232−1.721 ·1.313,2.457 ·1.313+1.721 ·0.232) = (0.57−2.26,3.226+0.4) = (−1.69,3.625) Nunmu¨ssenwiralsonochu¨berpru¨fen, ob−1,69+3,625i= 4·(cos(115◦)+i·sin(115◦))gilt. Dafu¨r wandeln wir c :=−1,69+3,625i in die Polardarstellung c= |c|·(cos(γ)+i·sin(γ)) um. |c|= √ (−1,69)2+3,6252= √ 2,856+13,141 = √ 16 = 4 ϕ′=arctan ( 3,625 −1.69 ) =arctan(−2.145) =−65◦ Weil sich c im zweiten Quadranten befindet, errechnet sichϕdurch: ϕ= 180◦+ϕ′= 180◦−65◦= 115◦ Daraus kann man erkennen, dass die beiden Darstellungsformen u¨bereinstimmen. U¨bung Berechne a ·b: 1) a= 4i und b= 54 ·(cos(40◦)+ i ·sin(40◦)) 2) a= 2 ·(cos(22◦)+ i ·sin(22◦)) und b= 1.3 ·(cos(60◦)+ i ·sin(60◦)) Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer