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Polardarstellung komplexer Zahlen 11. Schulstufe Durch weitere Anwendung grundlegender Trigonometrie erhalten wir das Folgende: sin(ϕ) = Im(a) r und cos(ϕ) = Re(a) r , weshalb Im(a) = r ·sin(ϕ) undRe(a) = r ·cos(ϕ) gelten Da fu¨r die komplexe Zahl a=Re(a)+ i ·Im(a) gilt, erha¨lt man durch Einsetzen des eben Ermittelten die gesuchte Polardarstellung: a=Re(a)+ i ·Im(a) = r ·cos(ϕ)+ i ·r ·sin(ϕ) = r ·(cos(ϕ)+ i ·sin(ϕ)) Beispiel Gegeben ist die komplexe Zahl 4−3i, welche in Polardarstellung umgewandelt werden soll. Lo¨sung: r= √ 42+(−3)2=√16+9 = √ 25 =5 ϕ′=arctan (−3 4 ) =−36,87◦ fu¨rϕ∈ [0◦;360◦) :ϕ=ϕ′+360◦= 323,13◦ Die erhaltenen Werte r=5 undϕ=323,13◦ ko¨nnen direkt in die allgemeine Form der Polardarstellung eingesetzt werden und wir erhalten als finale Lo¨sung: 4−3i= 5 ·(cos(323,13◦)+ i ·sin(323,13◦)) Die folgende Zeichnung besta¨tigt dieses Resultat: Re Im −2 −1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 0 4−3i 323,13◦ 5 Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer