Page - 25 - in Mathematik Unterrichtseinheiten

Polynomdivision 11. Schulstufe ( 2x3−6x2+11x−7) : (x−1)= 2x2 −2x3+2x2 −4x2+11x Wir fahren nun gleich fort mit dem Unterschied, dass wir jetzt 4x2+11x–7 quasi als unser Ausgangspolynomansehen. Nun ist4x2unsergro¨ßterTerm. Wir u¨berlegenunswiederum, mit welchem Term wirxmultiplizieren mu¨ssen um 4x2 zu erhalten. Der gesuchte Term lautet 4x. Wir fu¨gen diesen Term zu unserem bereits zur Lo¨sung geho¨renden Term hinzu und fu¨hren dieselben Schritte wie zuvor beschrieben aus (Multiplikation von Teilergebnis mit Divisor, Subtraktion, Anschreiben des neuen Polynoms). Wir erhalten:( 2x3−6x2+11x−7) : (x−1)= 2x2−4x −2x3+2x2 −4x2+11x 4x2 −4x 7x−7 Wir haben uns nun soweit vorgearbeitet, dass die Gradzahl des Linearfaktors jener des neues Ausgangspolynoms entspricht. Dies bedeutet fu¨r uns, dass wir noch eine Division durchfu¨hren mu¨ssen. Wir untersuchen wieder, mit welchem Termxmultipliziert werden muss, damit wir 7x erhalten. Wir erreichen dies mit 7. Nach Ausfu¨hrung der weiteren Schritte mu¨ssen wir in unserem Kontext der Untersuchung der Nullstellen (ihr werdet die Polynomdivision auch noch bei Integralen beno¨tigen, aber dazu spa¨ter mehr) als Rest 0 erhalten: ( 2x3−6x2+11x−7) : (x−1)= 2x2−4x+7 −2x3+2x2 −4x2+11x 4x2 −4x 7x−7 −7x+7 0 Mit 2x2−4x+7 haben wir nun jenes Polynom gefunden, welches wir erhalten, wenn wir (x−1) von unserem Ausgangspolynom abspalten. Es gilt: f(x) = (x−1) ·(2x2−4x+7) Um nun die restlichen Nullstellen unseres Polynoms f zu finden, mu¨ssen wir auch noch 2x2−4x+7 untersuchen. Auf dieses Polynom ko¨nnen wir die große Lo¨sungsformel anwenden: x1,2= 4±√42−4 ·2 ·7 2 Es ist hierbei ersichtlich, dass das Ergebnis unter der Wurzel negativ ist und wir somit keine weiteren reellen Lo¨sungen erhalten. Wir haben also mitx= 1 die einzige Nullstelle vom Polynom f gefunden. (Anmerkung: Um die Lo¨sungen des Polynoms finden zu ko¨nnen, mu¨ssten wir unseren Zahlenbereich auf die komplexen Zahlen erweitern.) Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer