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Untersuchung desMonotonieverhaltens einer Funktion 11. Schulstufe Betrachten wir zuerst jene zu untersuchenden Intervalle welche durch zwei Extremstellen begrenzt werden. Bei jenen kann das Monotonieverhalten im zu untersuchenden Intervall der Funktion dadurch bestimmt werden, dass ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls (also kein Randpunkt bzw. einer der beiden Extrempunkte) in f′ eingesetzt wird. Ist f′(x)> 0 so ist der Abschnitt der Funktion streng monoton steigend, andernfalls ist er streng monoton fallend. Wollen wir das Monotonieverhalten am linken Rand der Funktion untersuchen, so setzen wir in f′ einen Wert ein dessen x-Wert kleiner ist als jener des Extrempunktes welcher am weitesten links liegt. A¨hnliches gilt fu¨r den rechten Rand der Funktion. Wir setzen in f′ einen x-Wert ein, welcher gro¨ßer ist als der x-Wert jenes Extremwertpunktes welcher am weitesten rechts liegt (sollte es nur einen Extrempunkt geben, handelt es sich bei dem Extremwertpunkt ganz links und ganz rechts um denselben Punkt). Als Resultat erhalten wir jeweils fu¨r die Ra¨nder wieder f′(x)>0 oder f′(x)<0, also streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend. Beispiel 1. Beispiel Folgende Funktion f sei gegeben und es ist zu untersuchen, wo diese Funktion welches Monotonieverhalten hat: f(x) =x3−3x2+5 Gehen wir schrittweise vor: Schritt 1: Die Funktion ist durchgehend definiert. Schritt 2: Berechnen wir nun die Extremstellen! Dazu leiten wir die Funktion f einmal ab und erhalten: f′(x) = 3x2−6x Nun setzten wir f′(x) = 0, also 3x2−6x= 0. Mittels kleiner oder großer Lo¨sungsformel erhalten wir sodann: x1= 0 undx2= 2. Also haben wir drei Intervalle die es zu untersuchen gilt: [−∞;x1] , [x1;x2] und [x2;∞]. Austria-Forum MichaelHubmann,Helmut Zo¨hrer