Page - 43 - in Induktionsfügen von thermoplastischen Faserverbundwerkstoffen

2. STANDDERTECHNIK 43 duktoren.Durchdiesewird eine stark lokalisierteErwärmung imWerkstück ermöglicht.Ebensokann derAbstandzwischen InduktorundWerkstückbeihohenFrequenzensehrkleingewähltwerden.Nach Benkowsky [74] könnenzurVerstärkungundzurAusrichtungdesMagnetfeldesdiverse ferritischeMa- terialien verwendet werden. Diese können entweder im Innenfeld eines Induktors oder zwischen dem Induktor und demWerkstück platziert werden. Im zweiten Fall handelt es sichmeist um ferritische bzw. ferromagnetische oder paramagnetischePartikel, die in einemEpoxidharz eingebettetwerden. 2.2.4 PhysikalischeProzessbeschreibung Als Ursache für die induktive Energieeinbringung in einWerkstück gilt das entstehendeMagnetfeld umeine elektrisch leitende Spule.DiesesMagnetfeldmuss zeitlich und/oder örtlich veränderlich sein, umein alternierendesMagnetfeld darzustellen, das durch seineÄnderungderFlussdichteWirbelströ- me in einem elektrisch leitendenWerkstoff induziert. Für die Untersuchung und Formulierung des ausgebildeten Magnetfeldes stehen die Gleichungen nachMaxwell [78] und Biot & Savart [80] zur Verfügung. Das elektromagnetische Feld und seine Quellen werden durch die Gesetze vonMaxwell beschrieben [78].Zunächstwirddas sog.Durchflutungsgesetz, die1.Maxwell-Gleichung 2.28und2.29beschrieben. Diese stellt inmathematischerFormdar, dass jedes zeitlich veränderliche elektrischeFeldWirbelströ- me in einem elektrisch leitendenKörper verursacht [78]. ∇×H= D˙+j (2.28) ∇×E=−B˙ (2.29) D˙wird als Verschiebungsstromanteil bezeichnet und kann bei niedrigen Vorschubgeschwindigkeiten vernachlässigtwerden [81]. Die zweitewichtigeBeziehung ist die 2.Maxwell-Gleichung oder auch als Induktionsgesetz bekannt [78]: ∇×E=− ˙∇×A (2.30) A beschreibt dasmagnetischeVektorpotential, welches eine Aussage über dieWirkrichtung desMa- gnetfeldes liefert. Zur Beschreibung des Temperaturfeldes müssen drei Arten von Wärmeübertragung berücksichtigt werden: DieWärmeleitung, dieWärmestrahlung und dieWärmeübertragung durch Konvektion[82]. DieBeschreibungdesTemperaturfeldes kanndurchdieAnwendungdesWärmetransportgesetzes 2.31 nachFourier undderKontinuitätsgleichung erfolgen [82].DieseFormderModellierungverwendetbe- reits Nacke [81] in seiner Simulation der Banderwärmung und gilt auch unterAnwendung der Finite ElementeMethode (FEM) als geeignete Feldbeschreibung [20]. ρc ∂T ∂t = ∂ ∂x ( λ ∂T ∂x ) + ∂ ∂y ( λ ∂T ∂y ) + ∂ ∂z ( λ ∂T ∂z ) + ω˙ (2.31) Für die Lösung der Gleichungssysteme werden seit vielen Jahren sowohl numerische wie auch ana- lytische Verfahren eingesetzt [81]. Waren in den 80er- und 90er-Jahren die zur Verfügung stehende RechenleistungundSpeicherkapazitätderComputerder limitierendeFaktor [81], sobeschäftigen sich die aktuellen Problemstellungenmit der Erstellungmehrfach physikalisch gekoppelter Systeme. Ge- nau diese werden im Bereich der FEM zur Analyse von elektromagnetischen Erwärmungsverfahren eingesetzt ([78]; [82]). Am Beispiel der homogenen Erwärmung von Stahlbändern berichtet bereits Nacke [81] von derVerwendung thermisch undmagnetisch gekoppelten Systeme, die durch Integral- gleichungenundDifferentialgleichungenbeschriebenwerdenundderenLösungdurchFEM-Verfahren erleichtert wird. Die Lösung eines technischen Problems beginnt jedoch bei der physikalischen Be- schreibung der Zusammenhänge [81]. Einmathematischer Lösungsansatz soll an dieser Stelle jedoch hervorgehobenwerden.Eshandelt sichhierbeiumdenGauß‘schen IntegralsatzGleichung2.32.Dieser besagt,dassdergesamteFlusseinesVektorfeldesdurchdiezugehörigeOberflächeeinesVolumensdem