Seite - 18 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

18 3 KontaktmechanischeGrundlagen uy und uz, der Oberfläche z = 0 des elastischen Halbraums mit dem Schubmodul G und der Poissonzahlν: ux(x,y,z =0)= 1 4πG 1 r [ −(1−2ν)x r Fz +2(1−ν)Fx + 2νx r2 ( xFx + yFy )] , (3.1) uy(x,y,z =0)= 1 4πG 1 r [ −(1−2ν)y r Fz +2(1−ν)Fy + 2νy r2 ( xFx + yFy )] , (3.2) uz(x,y,z =0)= 1 4πG 1 r [ 2(1−ν)Fz + 1−2ν r ( xFx + yFy )] . (3.3) Dabei (und im Folgenden) bezeichnet r grundsätzlich den polaren Radius, r =√x2+ y2. Außerdem sei angemerkt, dass die Verschiebungen und Spannungen im Inneren des Halb- raumsebenfallsbestimmtwerdenkönnen,aberhierausPlatzgründenweggelassenwurden. 3.1.2 DerKontaktzweierelastischerKörper Wirken zwei elastische Körper aufeinander, kann man die gerade gezeigte Fundamental- lösung heranziehen, falls zwei Bedingungen erfüllt sind: Zum einen müssen die Abmaße der Körper sehr viel größer sein, als die charakteristische Länge des Kontaktgebiets, in dem sich die Körper berühren. Zum anderen müssen die Gradienten der sich berührenden Oberflächen in der Nähe des Kontaktes sehr klein sein. Diese beiden Annahmen werden sehr häufig zur sogenannten Halbraumhypothese zusammengefasst. Ist diese Hypothese erfüllt, kannmanohneSchwierigkeiten fürdenKontaktderbeidenelastischenKörpereine analoge Fundamentallösung formulieren wie im vorherigen Abschnitt. Wirken die beiden KörperdurcheinePunktlastF imUrsprungaufeinander,istdierelativeVerschiebungzweier gegenüberliegenderPunkte aufden beidenOberflächenderKörperdurch u =u1(x1,y1)−u2(x2,y2) (3.4) gegeben.UnterBerücksichtigungdesWechselwirkungsprinzips F1 =−F2 := F (3.5) und der jeweils entgegengesetztenKoordinatenorientierungen, x1 =−x2 := x, (3.6) y1 =−y2 := y, (3.7) ergebensichdamitdie relativenVerschiebungen