Seite - 47 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

3.5 Torsionskontakt 47 uϕ(r)= 2 π min(r,a)∫ 0 ⎡ ⎣r arcsin(x r ) −x √ 1− x 2 r2 ⎤ ⎦φ′(x)dx +r a∫ max(r,a) φ′(x)dx, (3.137) wassich zu uϕ(r)= 4 πr min(r,a)∫ 0 x2 [ϕ−φ(x)]√ r2−x2 dx (3.138) zusammenfassenlässt.DieFunktionenφ(x)undγ(r) lassensichwie imFalldesreibungs- freienNormalkontaktesdurchgeeigneteAbeltransformationenineinanderüberführen.Man erhält ausdemVergleichderGl. (3.130)und (3.138) γ(r)= 4 πr2 r∫ 0 x2φ(x)√ r2−x2 dx (3.139) und durch InversiondieserBeziehung [14,S.353] φ(x)= 1 2x2 d dx ⎡ ⎣ |x|∫ 0 r3γ(r)√ x2−r2 dr ⎤ ⎦ . (3.140) 3.5.2 TorsionskontaktmitGleiten AufGrundlagederÜberlegungenausdemvorherigenAbschnittkannmannundenüberla- gertenNormal-undTorsionskontaktzwischeneinemrotationssymmetrischenstarrenInden- ter mit dem Profil f(r) und einem elastischen Halbraum untersuchen, wobei im Kontakt Haftungund ReibungnachdemAmontons-Coulomb-Gesetzangenommensei. Der starre Indenter werde um d in den Halbraum eingedrückt und anschließend um den Winkel ϕ > 0 um seine Achse verdreht. Wie im Fall des Tangentialkontaktes in der Cattaneo-Mindlin-Näherung wird sich im Inneren des Kontaktes ein Haftgebiet r ≤ c mit demHaftradiusc≤a ausbilden,dasvoneinemringförmigenGleitgebietc< r ≤a umge- ben ist. Im Haftgebiet besteht die torsionale Verschiebung aus einer reinen Starrkörperdre- hungumdenWinkelϕundimGleitgebietherrschtCoulumbscheReibung.Diegemischten Randbedingungen für dasTorsionsproblemlautendaherwie folgt: uϕ(r)= rϕ, r ≤ c, (3.141) σϕz(r)=−μσzz(r), r > c. (3.142) Aus demVergleichvon Gl.(3.138) mitderRandbedingung(3.141) ist klar, dass