Seite - 55 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

3.6 Viskoelastizität 55 ij(t)=2 t∫ −∞ G(t − t′)e˙ij(t′)dt′, (3.177) σll(t)=3 t∫ −∞ K(t − t′)ε˙ll(t′)dt′. (3.178) Dabei bezeichnen ij und eij die spurfreien Anteile des Spannungs- und Verzerrungsten- sors.DieBerücksichtigungdesKriechensbeihydrostatischerKompressionverkompliziert die Lösung von Kontaktaufgaben mit Elastomeren in der Regel deutlich, wie z.B. anhand derLösungeinesnochvergleichsweiseeinfachenProblemsderkonischenIndentierungmit einem monoton wachsenden Kontaktradius und rein elastischem Verhalten bei hydrostati- scher Kompression von Vandamme und Ulm [69] deutlich wird. In der Regel verwendet man daher nur die Reaktion gegen reinen Schub zur Charakterisierung eines Elastomers. Dies ist sehr häufig auch durchaus berechtigt, da man die meisten relevanten Elastomere, wieGummioderGelenkknorpel, inguterNäherungalsinkompressibelannehmenkann[70, 71].TrotzdembestehtabernatürlichkeinephysikalischeNotwendigkeit,dasseinElastomer keineDeformationsantwortgegenhydrostatischeKompressionaufweist;sonimmtmanbei- spielsweise in der Geophysik an, dass der Erdmantel aus kompressiblem viskoelastischem Material aufgebaut ist [72]. Im folgenden Abschnitt wird daher die Berücksichtigung der Kompressibilität für denNormalkontaktgenauerbeschrieben. 3.6.3 BerücksichtigungderKompressibilität(Normalkontakt) FürdenreibungsfreienNormalkontaktkannmandaskompressibleProblemaufeinentspre- chend modifiziertes inkompressibles Problem zurückführen. Man benötigt dafür nur die Fundamentallösung des elastischen Normalkontaktproblems und das viskoelastische Kor- respondenzprinzip, das in spezieller Form zuerst von Alfrey [73] publiziert und später von Lee[74]undRadok[75]verallgemeinertwurde.DiegenanntenArbeitenbeziehensichauf isotrope,homogeneMedien. Die Fundamentallösung für die vertikaleVerschiebung der Oberfläche eineselastischen Halbraums unter Wirkung einer ab dem Zeitpunkt t = 0 im Koordinatenursprung aufge- brachtenPunktlast in z-Richtung ist nachGl.(3.3)durch uelz (r, t)= FzH(t)(1−ν) 2πGr = FzH(t) 4πGr 3K +4G 3K +G = FzH(t) 4πGr ( 1+ 3G 3K +G ) (3.179) gegeben, wobei H(t) die Heaviside-Funktion bezeichnet. Da das entsprechende viskoelastische Problem die gleichen Randbedingungen aufweist, kann es durch Laplace- Transformation problemlos in das elastische Problem mit einem Parameter s