Seite - 52 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen
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52 3 KontaktmechanischeGrundlagen
1 : dn ≥0 ∧ | ϕn|≤ϕL(an,an−1), (3.167)
2 :( dn ≥0 ∧ ϕL(an,an−1)< | ϕn|≤ϕL(an,cn−1)−ϕL(an−1,cn−1)sgn( ϕn))
∨( dn <0 ∧ ϕL(an−1,an)<− ϕn ≤ϕL(an,cn−1)+ϕL(an−1,cn−1)) (3.168)
gegeben sind. Wenn der sonstige Fall in Gl. (3.166) eintritt,wurde offenbar das Inkrement
mitdemIndexn−1 vollständiggelöscht.Man mussdannden Indexum Eins reduzieren.
3.6 Viskoelastizität
3.6.1 Einführung
Elastomere sind sehr vielseitige Werkstoffe. Durch ihre hohe Deformierbarkeit in Verbin-
dungmiteinemvergleichsweisekleinenElastizitätsmodulpassensiesichsehrgutanandere
Oberflächen an. Sie haben ein je nach Zeitskala unterschiedliches Materialverhalten, das
auchihreKontakteigenschaftenmaßgeblichbeeinflusst.DabeiweistGummiinvielenMate-
rialpaarungeneinenhohenReibbeiwert imnutzbarenZeitbereichauf.AußerdemsindElas-
tomere beständig gegenüber Hitze und Feuchtigkeit. Aufgrund dieser Vielseitigkeit finden
Elastomere inReifen,DichtungenundanderentechnischenSystemenhäufigeAnwendung.
Auch Biomaterialien wie Gelenkknorpel kann man oft als (mehrphasige) viskoelastische
Medienmodellieren.
DasMaterialverhaltendieserWerkstoffklasselässtsichgrobinstatischeunddynamische
Eigenschaftenunterteilen.BeidehabenihrenUrsprungindermolekularenStrukturderElas-
tomere, die aus schwach miteinander wechselwirkenden langen Polymerketten aufgebaut
sind.ImthermodynamischenGleichgewichtistdieAnzahlmöglicherKonfigurationeneiner
einzelnen Kette – und damit ihre Entropie – abhängig vom Abstand zwischen den beiden
Kettenenden.ImspannungsfreienZustandbefindetsichdieKetteimbevorzugten„verknäu-
elten“ ZustandmaximalerEntropie.LegtmananeinenElastomerblockdaherquasistatisch
eineSpannungan,werdendiePolymerketten„entflechtet“ unddieEntropiesinkt.Dadamit
die Freie Energie steigt, ergibt sich eine elastische Reaktion, die der angelegten Spannung
entgegenwirkt.DermitdieserentropieinduziertenElastizitätverbundeneElastizitätsmodul
istsehrklein(inderRegelvonderGrößenordnung1MPa)undderganzeProzessmehroder
weniger freivon Dissipation9.
Die Relaxation in das thermodynamische Gleichgewicht kann allerdings je nach der
konkretenStrukturdesElastomersunterschiedlichvielZeit inAnspruchnehmen. Instantan
(dasheißtimMomentdesAnlegensderSpannung)reagiertdasElastomerwieeinFestkörper
9Tatsächlich zeigen viele Elastomere eine schwache „statische Hysterese“. Inwieweit diese auf vis-
kose Verluste bei sehr kleinen Geschwindigkeiten zurückzuführen ist, soll an dieser Stelle nicht
diskutiert werden. Der genannte Effekt wird im weiteren Verlauf dieses Buches auch nicht berück-
sichtigt.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung 1
- Literatur 3
- 2 Kinematik und Dynamik räumlicher Stöße von Kugeln 5
- Literatur 14
- 3 Kontaktmechanische Grundlagen 17
- 3.1 Fundamentallösung des homogenen elastischen Halbraums 17
- 3.2 Reibungsfreier Normalkontakt ohne Adhäsion 20
- 3.3 Reibungsfreier Normalkontakt mit Adhäsion 25
- 3.4 Tangentialkontakt 38
- 3.5 Torsionskontakt 45
- 3.6 Viskoelastizität 52
- 3.6.1 Einführung 52
- 3.6.2 Das allgemeine linear-viskoelastische Materialgesetz 53
- 3.6.3 Berücksichtigung der Kompressibilität (Normalkontakt) 55
- 3.6.4 Rheologische Modelle 56
- 3.6.5 Behandlung viskoelastischer Kontaktprobleme nach Lee und Radok 61
- 3.6.6 Erweiterung auf beliebige Belastungsgeschichten 62
- 3.7 Funktionale Gradientenmedien 63
- 3.8 Plastizität 73
- 3.9 Zusammenfassung 84
- Literatur 87
- 4 Die Methode der Dimensionsreduktion in der Kontaktmechanik 95
- Literatur 110
- 5 Quasistatischer Normalstoß axialsymmetrischer Körper 113
- Literatur 153
- 6 Quasistatische ebene Stöße von Kugeln 157
- Literatur 181
- 7 Räumliche Effekte in elastischen Stößen von Kugeln 183
- Literatur 196
- 8 Ausgewählte Anwendungen von Stoßproblemen 197
- Literatur 222
- 9 Anhang 229
- Literatur 238
- Stichwortverzeichnis 239