Seite - 191 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

7.2 ElastischerTorsionsstoß 191 mitdenTrägheitsmomentenderbeidenKugeln JSi umdieNormalenachse,liefertbeiKennt- nisdesTorsionsmomentesMzdieBewegungsgleichungfürdie(relative)torsionaleRotation. DieAufgabe besteht nun in der kontaktmechanischenBestimmungdesMoments und der IntegrationderentstehendenBewegungsgleichung. Die vollständige Lösung des elastischen Torsionsstoßproblems vonKugelnmit einem unendlichenoderendlichenReibbeiwertstammtvonJäger[1].EssollzunächstderFallohne lokalesGleiten imKontakt betrachtet und anschließend der Einfluss des lokalenGleitens untersuchtwerden. 7.2.1 StoßohneGleiten DieMechanik des torsionalen Stoßes von elastischenKugeln ohne Gleiten ist qualitativ sehrähnlichzudementsprechendenallgemeinenebenenStoßproblem:DieKompressions- undRestitutionsphasemüssengetrenntvoneinanderuntersuchtwerden,dabeidequalitativ unterschiedlichesVerhalten zeigen. In derKompressionsphase kannmandieBewegungs- gleichung inkrementell schreiben; in der Restitutionphase formuliert man eine explizite Bewegungsgleichung für die Differenz zwischen zwei Kontaktkonfigurationen mit dem gleichenKontaktradiuswährendderKompressions-undRestitutionsphase. Kompressionsphase WenndieIndentierungstiefeunddamitderKontaktradiusmonotonwachsen,kannderinkre- mentelleBeitragzudemTorsionsmomentdurcheineStarrkörperrotationdesKontaktgebiets mit demmomentanenRadiusa umdendifferentiellenWinkelωzdt bestimmtwerden.Mit Gl.(3.131)unddemDrallsatz (7.34) lautetdanndieBewegungsgleichungwie folgt: ω¨z + 16G 3J∗ a3ωz =0. (7.35) Dabei bezeichnetG den inGl.(3.12) definiertenSchubmodul.Verwendetmandie dimen- sionsfreienGrößen ωˆz := dmax|vz,0|ωz, tˆ := |vz,0| dmax t, ξ := ( d dmax )5/2 , χt := (1−ν)m˜R˜ 2 J∗ dmax R˜ , (7.36) mitderStoßgeschwindigkeitvz,0,dermaximalenIndentierungstiefedmaxausGl.(5.8),sowie den effektivenWerten derMasse und desKrümmungsradius, m˜ und R˜, lautet die Bewe- gungsgleichung innormierterForm d2ωˆz dtˆ2 + 5 2 χt ξ 3/5ωˆz =0, (7.37) mitdenAnfangsbedingungen ωˆz ( tˆ =0)= ωˆz,0, dωˆz dtˆ ( tˆ =0)=0. (7.38)