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50 3 KontaktmechanischeGrundlagen 3.5.3 ErweiterungaufbeliebigeBelastungsgeschichten(parabolischer Kontakt) Deresiewicz [68] untersuchte den oszillierenden Torsionskontakt von elastischen Kugeln. Eine allgemeine Lösung für beliebige Belastungsgeschichten wurde später von Jäger [67] angegeben. Diese basiert, analog zu dem entsprechenden Tangentialkontaktproblem, auf einergeeignetenSuperpositionvon Lubkin-Lösungen σL(r;a,c) := 2μE˜ πR˜ √ a2−r2 { 1+ 2π { [K(k)−E(k)]F(β,k′)−K(k)E(β,k′)}, r ≤ c, 1 , c< r ≤a. (3.155) ϕL(a,c) := 2μa π(1−ν)R˜ [K(k)−E(k)], (3.156) wobei dieDefinitionenvon k, k′ undβ den Gl. (3.153)entnommenwerdenkönnen. Manerkennt,dassdurcheineSuperpositionσL(r;ai,ak)−σL(r;ai,aj)mitai ≥aj ≥ ak einspannungsfreierRingaj ≤ r ≤ai erzeugtwerdenkann,währenddasGebietr ≤ak haftet.DieseBeobachtunggenügt,umdieSpannungsverteilungfürbeliebigeBelastungsge- schichtenzukonstruieren.DadasTorsionskontaktproblemnicht,wiedasTangentialkontakt- probleminderCattaneo-Mindlin-Näherung,aufdasNormalkontaktproblemzurückgeführt werdenkannunddieLubkin-SpannungenkeinezuGl. (3.109)analogeSuperpositionsregel erfüllen, ist die Behandlung der einzelnen Szenarien (etwas paradoxerweise) dabei sogar einfacherals im FalldesTangentialkontaktes. Man betrachte einen Kontakt nach einer Lubkin-Belastung. Das Kontaktgebiet mit dem Radius a1 besteht aus einem Haftgebiet mit dem Radius c1 und einem Gleitgebiet c1 < r ≤a1.OhneBeschränkungderAllgemeinheitseiangenommen,dassϕ1 >0.DieVerteilung der Schubspannungen ist durch Gl. (3.155) gegeben. Nun wird die Eindrucktiefe um d und anschließend die Starrkörperrotation um ϕ verändert8. Da sich bei jeder (noch so kleinen) torsionalen Belastung vom Rand des Kontaktes ein Gleitgebiet ausbreitet, zerfällt dasneueKontaktgebietmitdemRadiusa2wiederumineinHaftgebietmitdemRadiusc2und ein Gleitgebiet c2 < r ≤ a2. Grundsätzlich müssen zwei Fälle unterschieden werden: ein wachsendesKontaktgebietmita2 >a1(also d >0)undeinschrumpfendesKontaktgebiet mita2 <a1 (also d <0). Kontaktgebietwächst Wenn das Kontaktgebiet wächst, gibt es zunächst – bevor die zusätzliche Verdrehung ϕ aufgebrachtwird–einenZustandvollständigenHaftens.DanachbreitetsichdasGleitgebiet erneutvomRanddesKontaktesnachinnenaus.Solangec2 >a1,kanneinfacheineeinzelne Lubkin-Spannung linear superponiertwerden, 8Wie imTangentialkontakt müssenbeide Inkremente nicht zwangsläufig infinitesimal sein.