Seite - 98 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

98 4 DieMethodederDimensionsreduktioninderKontaktmechanik Fz = a∫ −a qz(x)dx=−2E˜da (4.12) gegebenunddieSpannungenimKontaktgebietdesrotationssymmetrischenKontaktessind mitderBeziehung σzz(r)=−1 π a+∫ r q′z(x)√ x2−r2 dx=− E˜d π √ a2−r2, r≤a, (4.13) bestimmbar,wobeimandie Integrationüberdas abgeschlossene Intervall ausführenmuss, wasdurchdieObergrenzea+angedeutet ist.DieVerschiebungen innerhalbdesKontaktes betragen uz(r)= 2 π r∫ 0 u1Dz (x)√ r2−x2 dx=−d, r≤a, (4.14) unddieaußerhalb uz(r)= 2 π a∫ 0 u1Dz (x)√ r2−x2 dx=− 2d π arcsin (a r ) , r>a. (4.15) DieaufgeführtenGleichungenreproduzierendieLösungdes rotationssymmetrischenKon- taktproblemsausdenGl.(3.20), (3.22)und (3.23). 4.2 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsion Da das reibungsfreie adhäsive Normalkontaktproblem auf das nicht-adhäsive Problem zurückgeführt werden kann und letzteres, wie beschrieben, im Rahmen derMDR exakt abgebildet wird, trifft dies auch für den adhäsiven Kontakt zu. Dies gilt sowohl für die Beschreibung derAdhäsion durch die JKR-Theorie als auch für die allgemeinereLösung vonMaugis. Im Folgendenwird die Implementierung beider Ansätzemithilfe derMDR kurzerläutert. 4.2.1 AbbildungdesadhäsivenNormalkontaktesinderJKR-Näherung Wie in Abschn.3.3.2 dargestellt, kann man den JKR-adhäsiven Normalkontakt als eine Superpositiondesnicht-adhäsivenKontaktesmit einer Indentierungum l= √ 2π γa E˜ (4.16)