Seite - 167 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

6.2 ViskoelastischerschieferStoßohneGleiten 167 Normalproblemsbekannt–wirdzu jedemZeitpunktdurchdie tangentialeBewegungux,K des „Kontaktpunktes“ auf der starrenKugel tangential verschoben.Daraus ergibt sich im MDR-Modell in jedem Zeitschritt die Streckenlast qx der viskoelastischen Bettung und damit die gesamteTangentialkraft Fx,mit derman dieBewegungsgleichung (6.1) in dis- kretenZeitschrittenlösenkann.ImFolgendenwerdenalsrheologischeModellederKelvin- Voigt-KörperundderKelvin-Maxwell-Körperberücksichtigt.Willert et al. [6]berücksich- tigtenaußerdemdasStandard-MediumfürdasebeneviskoelastischeStoßproblem. 6.2.1 InkompressiblesKelvin-Voigt-Medium ImFalldesKelvin-Voigt-MediumsentkoppelndieelastischenundviskosenEigenschaften (charakterisiertdurchdenSchubmodulG sowiedieScherviskositätη)undmankanndaher dieStreckenlast ineinenelastischenundviskosenAnteil aufteilen: qx(x, t)=qelx (x, t)+qvisx (x, t). (6.46) DerviskoseAnteil ist einfach qvisx (x, t)= 8 3 ηu˙x,K, |x|≤a(t), (6.47) undderelastischeAnteilwird inkrementell inderForm dqelx (x, t)= 8 3 Gdux,K, |x|≤a(t), (6.48) ausgewertet.IntegrationderStreckenlastüberdasKontaktgebietundAuswertungderBewe- gungsgleichung (6.1) liefern die tangentialeBewegungdesKontaktpunktes unddamit die tangentialeStoßzahl x.DurchDimensionsanalyseundnumerischeStudienkannmanleicht feststellen,dassdiesenurvondenbeidendimensionslosenParametern δ :=η ( R˜vz,K,0 m˜2G3 )1/5 , χ := l 2κ = 1 3κ (6.49) abhängt.Dabeiwurdeberücksichtigt, dassdasMindlin-Verhältnis lwegender Inkompres- sibilitätdurchdenWert l=2/3gegeben ist.BeiderBehandlungdesNormalstoßproblems wurde außerdemgezeigt, dass die normale Stoßzahl z für denKelvin-Voigt-Körper eine strengmonoton fallendeFunktionvon δ ist,mankanndaherdie tangentialeStoßzahl auch als Funktion von z undχ darstellen.Diese Lösung des tangentialen Stoßproblems ist in Abb.6.5gezeigt.Für z=1ergibt sichnatürlichdieelastischeLösungnachGl.(6.20), für z→0wirdauchdie tangentialeBewegungvollständiggedämpft.