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9.2 TangentialeSpannungsverteilungenfürGradientenmedien 233
9.2.2 ParabolischerKontakt
FüreineSpannungsverteilungderForm
σxz(r)=σ1 (
1− r 2
a2 )1+k
2
, r ≤a, (9.24)
erhältmanaufdiegleicheArtundWeisewie imvorherigenAbschnitt fürdie tangentialen
Verschiebungen innerhalbdesKontaktgebietsr ≤adenAusdruck
ux = σ1z k
0
4πa1+kG0 2π∫
0 (
H cos2γ + P sin2γ)γ s1∫
0 ( A2−s2−2Bs) 1+k
2 s−kdsdϕ. (9.25)
Die innere Integrationüber s liefert
s1∫
0 (
A2−s2−2Bs )1+k
2 s−kds = (
A2+B2 ) 1+k
2 π
2cos(kπ/2) (
1− kB 2
A2+B2 )
−B √
A2+B2
×1+k
2 (
1− k2 ) ( 1+k
2 )
√
π [
2F1 (
1
2 , 1+k
2 ; 3
2 ; B 2
A2+B2 )
+ 2F1 (
−1
2 , 1+k
2 ; 1
2 ; B 2
A2+B2 )]
,
(9.26)
mitdenbereits erwähntenSpezialfunktionen.
WegenderSymmetrie-Eigenschaft (9.9)tragenbeiderIntegrationüberϕnurdiegeraden
Ausdrücke inB zumIntegralbeiundmanerhält
ux = σ1z k
0(1+k)
16a1+kG0cos(kπ/2) 2π∫
0 [
H cos2 (π−ϕ−θ)+ P sin2 (π−ϕ−θ)
][
a2−r2+r2cos2ϕ(1−k) ]
dϕ
= πσ1(1+k)
2cT a1−k {
1− [
1− (1−k)(3H + P)
4(H + P) ] x2
a2 − [
1− (1−k)(H +3P)
4(H + P) ] y2
a2 }
, (9.27)
mitdemobeneingeführtenTangentialmodulcT .
DieQuerverschiebungenuy innerhalbdesKontaktgebiets ergebensichanalogzu
uy = σ1z k
0(H − P)
4πa1+kG0 2π∫
0 cosγ sinγ s1∫
0 ( A2−s2−2Bs) 1+k
2 s−kdsdϕ
= πσ1z k
0(1−k2)(H − P)xy
4cT(H + P)a1+k . (9.28)
Für den homogenen Fall k = 0 vereinfachen sich diese Ergebnisse natürlich zu denVer-
schiebungenausdenGl.(9.10)und (9.11).
Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
Grundlagen und Anwendungen
- Titel
- Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
- Untertitel
- Grundlagen und Anwendungen
- Autor
- Emanuel Willert
- Verlag
- Springer Vieweg
- Ort
- Berlin
- Datum
- 2020
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- CC BY 4.0
- ISBN
- 978-3-662-60296-6
- Abmessungen
- 17.3 x 24.6 cm
- Seiten
- 258
- Schlagwörter
- Engineering, Mechanics, Mechanics, Applied, Mechanics, Applied mathematics, Engineering mathematics
- Kategorien
- Naturwissenschaften Physik
- Technik
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung 1
- Literatur 3
- 2 Kinematik und Dynamik räumlicher Stöße von Kugeln 5
- Literatur 14
- 3 Kontaktmechanische Grundlagen 17
- 3.1 Fundamentallösung des homogenen elastischen Halbraums 17
- 3.2 Reibungsfreier Normalkontakt ohne Adhäsion 20
- 3.3 Reibungsfreier Normalkontakt mit Adhäsion 25
- 3.4 Tangentialkontakt 38
- 3.5 Torsionskontakt 45
- 3.6 Viskoelastizität 52
- 3.6.1 Einführung 52
- 3.6.2 Das allgemeine linear-viskoelastische Materialgesetz 53
- 3.6.3 Berücksichtigung der Kompressibilität (Normalkontakt) 55
- 3.6.4 Rheologische Modelle 56
- 3.6.5 Behandlung viskoelastischer Kontaktprobleme nach Lee und Radok 61
- 3.6.6 Erweiterung auf beliebige Belastungsgeschichten 62
- 3.7 Funktionale Gradientenmedien 63
- 3.8 Plastizität 73
- 3.9 Zusammenfassung 84
- Literatur 87
- 4 Die Methode der Dimensionsreduktion in der Kontaktmechanik 95
- Literatur 110
- 5 Quasistatischer Normalstoß axialsymmetrischer Körper 113
- Literatur 153
- 6 Quasistatische ebene Stöße von Kugeln 157
- Literatur 181
- 7 Räumliche Effekte in elastischen Stößen von Kugeln 183
- Literatur 196
- 8 Ausgewählte Anwendungen von Stoßproblemen 197
- Literatur 222
- 9 Anhang 229
- Literatur 238
- Stichwortverzeichnis 239