Seite - 108 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

108 4 DieMethodederDimensionsreduktioninderKontaktmechanik Wird ein starres ebenes Profil g(x) (sieheGl.(3.233)) um d in eine elastischeBettung vonunabhängigenFedern gedrückt, sind die Federn umu1Dz (sieheGl.(4.1)) verschoben. DieFederbettunghabedieLiniensteifigkeit k′z(x)= cNxk, (4.60) diesevariiert alsonachdemgleichenPotenzgesetz,wiederelastischeModulmitderTiefe imursprünglichen axialsymmetrischenSystem.DieGrenzedesKontaktgebiets istwie im homogenenFalldurchdieBedingung (4.3)bestimmtunddiegesamteNormalkraft beträgt Fz =−2cN a∫ 0 [d−g(x)]xkdx, (4.61) wasoffensichtlichGl.(3.229) reproduziert.WegenGl.(3.230)kannmittelsderBeziehung σzz(r)=−cN π a∫ r [ u1Dz (x) ]′ dx√( x2−r2)1−k , r≤a, (4.62) die Druckverteilung imOriginalsystem aus den Federverschiebungen bestimmt werden. Dies ist eineverallgemeinerteAbel-Transformation,diemanmitdemErgebnis [8,S.256] u1Dz (x)= 2 cN cos ( kπ 2 ) a∫ x rσzz(r)dr√( r2−x2)1+k (4.63) invertierenkann.MitGl.(3.231)ergebensichdieVerschiebungendesOriginalsystemsnach uz(r)= 2 π cos ( kπ 2 ) r∫ 0 xku1Dz (x)dx√( r2−x2)1+k (4.64) ausdenVerschiebungendesMDR-Ersatzmodells.VölliganalogzumhomogenenFallkann manaußerdemzeigen,dassdurchdiebeschriebenenRegelnauchderFlachstempelkontakt (der streng genommennoch nicht in derHerleitung enthalten ist) korrekt abgebildetwird [8, S.256 f.], wenn man die aufgeführten Integrale über die abgeschlossenen Intervalle auswertet. 4.6.2 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsioninderJKR-Näherung Wie beschrieben gilt auch für inhomogene elastischeMedien, dass die Lösung des JKR- adhäsiven axialsymmetrischen Normalkontaktproblems aus der Superposition des nicht-adhäsiven Problemsmit einer geeigneten Flachstempellösung hervorgeht. Da beide