Seite - 41 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

3.4 Tangentialkontakt 41 Die Vernachlässigung der Verschiebungen uy ist dabei problematisch. Tatsächlich gibt es,wieausdenGl. (3.96)und(3.98)klarhervorgeht,beiderangenommenenVerteilungder TangentialspannungenrelativeVerschiebungen uy imGleitgebiet.DieSchubspannungen im Gleitgebiet sind daher nicht den relativen Verschiebungen entgegengerichtet, was die Isotropie des Reibgesetzes verletzt. Johnson [11, S.219] gab an, dass das Verhältnis der relativenVerschiebungen uy/ ux vonderGrößenordnungν/(4−2ν) ist (dieRichtungs- abweichung beträgt damit wenige Grad) und schlussfolgerte, dass die Cattaneo-Mindlin- LösungeineguteNäherungderexaktenLösungdarstellt.DiesbestätigtenMunisamyetal. [58] durchVergleichemitder widerspruchsfreien (numerischen)Lösung desProblems. 3.4.3 ErweiterungaufbeliebigeBelastungsgeschichten BisherwurdenurdieeinfachsteBelastungsgeschichteeinesTangentialkontaktesbetrachtet (konstante Normalkraft, monoton wachsende Tangentialkraft). Im Gegensatz zum reinen Normalkontaktproblem ist aber die Lösung des Tangentialkontaktproblems nicht nur von der momentanen Konfiguration des Kontaktes bestimmt, sondern von der gesamten bis- herigen Belastungsgeschichte, da im Haftgebiet Teile der Belastungsgeschichte in Form von Tangentialspannungen gespeichert werden. Der Kontakt besitzt in diesem Sinne ein „Gedächtnis“. Durch die Energie-Dissipation im Gleitgebiet kommt es außerdem bei zyklischer Belastung zur Hysterese. Die Angabe eines expliziten Gesetzes für die Tan- gentialkraft Fx ist dahernur mitKenntnisderBelastungsgeschichtemöglich. Mindlin und Deresiewicz [59] gaben einen geschlossenen Regelsatz an, mit dem man dasKontaktproblembeieinerbeliebigenBelastungsgeschichtelösenkann,unduntersuchten eine Vielzahl unterschiedlicher Belastungsfälle. Eine elegantere Formulierung der Lösung fürbeliebigeBelastungsgeschichtenstammtvonJäger[60].BeidegenanntenPublikationen sind natürlichunterdenAnnahmenderCattaneo-Mindlin-Näherungzustandegekommen. DieGrundideeder JägerschenLösung ist, dassmandieTangentialspannungenbeieiner beliebigenBelastungsgeschichtealseineSuperpositionvonCattaneo-Mindlin-Spannungen σB(r;ai,aj) := 2μE˜ πR˜ ⎧⎨ ⎩ √ a2i −r2− √ a2j −r2, r ≤aj,√ a2i −r2 , aj < r ≤ai, (3.105) konstruieren kann. Nach einem von Jäger [61] und Ciavarella [62, 63] unabhängig vonein- andergefundenenTheoremlässt sichGl. (3.105) für alle axialsymmetrischenKontakte im RahmenderCattano-Mindlin-Näherungzu σB(r;ai,aj)=−μ { σzz(r;ai)−σzz(r;aj), r ≤aj, σzz(r;ai) , aj < r ≤ai, (3.106)