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232 9 Anhang 9.2 TangentialeSpannungsverteilungenfürGradientenmedien 9.2.1 KontaktohneGleiten IndiesemAbschnittwirdgezeigt, dasseineSpannungsverteilungderForm σxz(r)=σ1 ( 1− r 2 a2 )−1−k2 , r ≤a, (9.19) aufgebracht an der Oberfläche eines inhomogenenHalbraumsmit einer elastischenGra- dierung inderFormeinesPotenzgesetzesmit demExponent k, einekonstante tangentiale Verschiebungux,0 desGebiets r ≤ a erzeugt.DieHerleitunggelingt dabei,wie imvorhe- rigenUnterkapitel, durchdie Integrationder jeweiligenFundamentallösung. Mit der Fundamentallösung (3.210), der Skizze inAbb.9.1 und den inGl.(9.3) einge- führtenKürzelnerhältmandieausderSpannungsverteilung(9.19)resultierendetangentiale Verschiebung imKontaktgebietr ≤a: ux = σ1z k 0a 1−k 4πG0 2π∫ 0 ( H cos2γ + P sin2γ) s1∫ 0 ( A2−s2−2Bs)− 1−k 2 s−kdsdϕ. (9.20) Die Integrationsgrenze s1 ist durchGl.(9.7) gegeben.Die innere Integration über s liefert denAusdruck π 2cos(kπ/2) − ( 1− k2 ) (1+k 2 ) √ π B√ A2+B2 2F1 ( 1 2 , 1+k 2 ;3 2 ; B 2 A2+B2 ) , (9.21) mitder inGl.(9.33)definiertenGamma-Funktion undder inGl.(9.35)definiertenHyper- geometrischenFunktion 2F1.WegenderSymmetrie-Eigenschaft (9.9) trägt nachder Inte- grationüberϕ nurderkonstanteTermbeiundmanerhält ux ≡ux,0= πσ1 cT a1−k, cT :=8cos ( kπ 2 ) G0 zk0(H + P) . (9.22) AußerdembeträgtdiegesamteTangentialkraft Fx = 2πσ1a 2 1+k = 2 1+kcT ux,0 a 1+k. (9.23) MithilfederFundamentallösungkannmandarüberhinaus leicht zeigen,dassdieQuerver- schiebungenuy imKontaktgebietverschwinden.