Seite - 170 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

170 6 QuasistatischeebeneStößevonKugeln 6.3.1 HomogeneMedien DasschiefeStoßproblemvonKugelnmit einemendlichenReibkoeffizientenμ, d.h. unter BerücksichtigungvonlokalemGleitenimKontakt,kannmanselbstfürelastische,homogene Mediennichtmehr analytisch lösen.DasProblembesteht dabei inder kontaktmechanisch korrektenBestimmung der Tangentialkraft, wofür allerdings unterschiedliche numerische MethodenzurVerfügungstehen.Mawetal.[4]beschriebenundimplementierteneinnumeri- schesVerfahren,umdenRegelsatzvonMindlinundDeresiewicz[7]fürelastischeTangenti- alkontaktemitbeliebigenBelastungsgeschichtenaufdasschiefeStoßproblemanzuwenden. Siestelltenfest,dassdasStoßproblem,geschriebeningeeignetendimensionslosenGrößen, nurvondenbeidenParametern χ := l 2κ , ψ := l tanα μ (6.53) abhängt. Dabei ist χ bereits aus der Beschreibung des analogen Problems ohne Gleiten bekannt;ψ charakterisiertdieReibeigenschaftendesSystems,der(generalisierte)Stoßwin- kelα istinGl.(2.58)definiert.Mawetal.bestimmtennumerischunteranderemverschiedene ZeitverläufederTangentialkraftinAbhängigkeitderbeidenobigenParameter.InNachfolge- Publikationen[8,9]verglichensieaußerdemsehrerfolgreichdieVorhersagenihresModells mit eigenenExperimenten fürdenverallgemeinertenRückprallwinkelalsFunktionvonψ. Jäger[10]implementierteseineallgemeineLösungdesTangentialkontaktproblemsmithilfe der Superposition von Cattaneo-Mindlin-Lösungen, um das Stoßproblem zu lösen. Von Willert und Popov [11] stammt eine äquivalente aber einfachere Implementierung im RahmenderMDR. AusderimdrittenKapitelgezeigtenLösungdesTangentialkontaktproblemsvonKugeln folgt, dassderStoß für lvx,K,0>μ|vz,K,0| ⇔ ψ >1 (6.54) imRegimevollständigenGleitensbeginnt.WährenddesvollständigenGleitens ist |Fx|=μ|Fz| (6.55) unddamitwegenderBewegungsgleichung(6.1) vx,K =vx,K,0+μ κ ( vz,K −vz,K,0 ) . (6.56) Daraus folgt, dassdergesamteStoß imRegimevollständigenGleitensverläuft, falls vx,K,e=vx,K,0+μ κ ( vz,K,e−vz,K,0 ) > μvz,K,e l ⇔ ψ >ψc :=2χ(1+ z)− z. (6.57) FürelastischeStöße istnatürlich z=1,dieBeziehung ist aberauchfür inelastischeStöße mit z < 1 korrekt [6], daher wurde die etwas allgemeinere Formulierung gewählt. Im