Seite - 158 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

158 6 QuasistatischeebeneStößevonKugeln 6.1.1 HomogeneMedien Wegen des wachsenden, bzw. schrumpfenden Kontaktradius ist das kontaktmechanische VerhaltenwährendderKompressions-undderRestitutionsphasequalitativunterschiedlich. BeideTeiledesStoßesmüssendahergetrenntvoneinanderbehandeltwerden. Kompressionsphase WährendderKompressionsphase kannmandasKraftgesetz inkrementell formulieren.Da zukeinemZeitpunkt lokalesGleitenzugelassenist,wirdzueinemZeitpunkt t dasKontakt- gebietmitdemRadiusa(t)alsGanzesumdux,K(t)verschoben.DerentsprechendeBeitrag zuder tangentialenKraft istwegenGl.(3.92) dFx =2G˜adux,K. (6.2) DivisiondurchdtundEinsetzenderGl.(6.1)sowiederRelation(3.35)fürdenKontaktradius ergibt d3ux,K dt3 + 2G˜ κm˜ √ R˜d dux,K dt =0. (6.3) FührtmandiedimensionsfreienGrößen tˆ := |vz,K,0| dmax t, uˆx,K := ux,K dmax , vˆx,K := duˆx,K dtˆ , (6.4) mitdermaximalenEindrucktiefedmax ausGl.(5.8), ein, erhältman d2vˆx,K dtˆ2 + 15 4 χ √ d dmax vˆx,K =0, χ := l 2κ , l := G˜ E˜ = 2−2ν 2−ν , (6.5) wasmithilfeder sichausGl.(5.10)ergebendenBeziehung dξ dtˆ = 5 2 ξ3/5(1−ξ)1/2 , ξ := ( d dmax )5/2 , (6.6) undderKettenregel indieHypergeometrischeGleichung d2vˆx,K dξ2 ξ(1−ξ)+ 1 10 (6−11ξ)dvˆx,K dξ + 3χ 5 vˆx,K =0 (6.7) überführtwerdenkann.DenParameterχ führtenMawetal. [4] zurBeschreibungschiefer elastischerStößevonKugeln ein.Der darin enthalteneParameter l gibt dasVerhältnis der tangentialenzurnormalenSteifigkeit desFlachstempel-Kontaktesanundwirdhäufignach Mindlin benannt. In derUmgebungvon ξ = 0hatGl.(6.7) die allgemeineLösung (siehe Gl.(9.37) imAnhang)