Page - 233 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

9.2 TangentialeSpannungsverteilungenfürGradientenmedien 233 9.2.2 ParabolischerKontakt FüreineSpannungsverteilungderForm σxz(r)=σ1 ( 1− r 2 a2 )1+k 2 , r ≤a, (9.24) erhältmanaufdiegleicheArtundWeisewie imvorherigenAbschnitt fürdie tangentialen Verschiebungen innerhalbdesKontaktgebietsr ≤adenAusdruck ux = σ1z k 0 4πa1+kG0 2π∫ 0 ( H cos2γ + P sin2γ)γ s1∫ 0 ( A2−s2−2Bs) 1+k 2 s−kdsdϕ. (9.25) Die innere Integrationüber s liefert s1∫ 0 ( A2−s2−2Bs )1+k 2 s−kds = ( A2+B2 ) 1+k 2 π 2cos(kπ/2) ( 1− kB 2 A2+B2 ) −B √ A2+B2 ×1+k 2 ( 1− k2 ) ( 1+k 2 ) √ π [ 2F1 ( 1 2 , 1+k 2 ; 3 2 ; B 2 A2+B2 ) + 2F1 ( −1 2 , 1+k 2 ; 1 2 ; B 2 A2+B2 )] , (9.26) mitdenbereits erwähntenSpezialfunktionen. WegenderSymmetrie-Eigenschaft (9.9)tragenbeiderIntegrationüberϕnurdiegeraden Ausdrücke inB zumIntegralbeiundmanerhält ux = σ1z k 0(1+k) 16a1+kG0cos(kπ/2) 2π∫ 0 [ H cos2 (π−ϕ−θ)+ P sin2 (π−ϕ−θ) ][ a2−r2+r2cos2ϕ(1−k) ] dϕ = πσ1(1+k) 2cT a1−k { 1− [ 1− (1−k)(3H + P) 4(H + P) ] x2 a2 − [ 1− (1−k)(H +3P) 4(H + P) ] y2 a2 } , (9.27) mitdemobeneingeführtenTangentialmodulcT . DieQuerverschiebungenuy innerhalbdesKontaktgebiets ergebensichanalogzu uy = σ1z k 0(H − P) 4πa1+kG0 2π∫ 0 cosγ sinγ s1∫ 0 ( A2−s2−2Bs) 1+k 2 s−kdsdϕ = πσ1z k 0(1−k2)(H − P)xy 4cT(H + P)a1+k . (9.28) Für den homogenen Fall k = 0 vereinfachen sich diese Ergebnisse natürlich zu denVer- schiebungenausdenGl.(9.10)und (9.11).