Page - 9 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

2.2 VereinfachungenderBewegungsgleichungen 9 2.2 VereinfachungenderBewegungsgleichungen 2.2.1 WeiterevereinfachendeAnnahmen Esseiangenommen,dassdieSpinsunddieGeschwindigkeitskomponentenderKugelnsenk- rechtzurNormalenachsederKontaktflächevonderGrößenordnungeinercharakteristischen Geschwindigkeitvx sind,dienichtdeutlichgrößeralsdiecharakteristischeGeschwindigkeit vz inNormalenrichtung ist.DerStoßwinkel sollte alsonicht extremflach sein4. Indiesem FallerhältmanfürdieRotationderStoßachsewährendderKollisionmitderDauerTS und dermaximalenEindringtiefedmax dieAbschätzung TS ≈ vx R dmax vz 1. (2.22) Daraus folgt,dass indenBewegungsgleichungenlangsamedynamischeEffektedurchzen- trifugaleoderCoriolis-Termevernachlässigtwerdenkönnen.DiekinematischenGl.(2.13) und (2.12)vereinfachensich indiesemFall zu r¨12=−d¨ez +(R1+ R2)˙×ez, (2.23) v˙K = r¨12− ( s˙1+ s˙2 )×ez. (2.24) DieKontaktmomente sindvonderGrößenordnung M ≈aF RF (2.25) und damit vernachlässigbar gegenüber den Momenten der Kontaktkräfte bezüglich der SchwerpunktederKugeln.DieseVernachlässigungderKontaktmomentehataufdenersten Blick einenHaken:DadieKontaktkräfte bezüglichderKugelschwerpunkte keinMoment umdieNormalenachse aufbringen, bleibt dieRotationumdieseAchse–bei derVernach- lässigung derKontaktmomente –während des Stoßes erhalten.Dies scheint der Tatsache zuwidersprechen, dass eine solcheRotation bei Reibung imKontakt zu elastischen Tor- sionsspannungenundeinemresultierendenBohrmoment umdieNormalenachse führt. Im Unterkapitel 7.2wirdabergezeigtwerden, dassdiesesMoment tatsächlichklein ist,wenn dieKontaktradienkleingegenüberdenKugelradiensind. DieVernachlässigung langsamer dynamischer Effekte und der Kontaktmomente führt zuzweiweiterenErhaltungsgrößen,nämlichderDrehimpulsederbeidenKugelnbezüglich des (imRahmender getroffenenAnnahmen raumfesten)Kontaktpunktes, denn in diesem Fall ist d dt ( JSi ωi +(−1)imiRiez ×vi ) = JSi ω˙i +(−1)iRiez ×Fi =0. (2.26) 4DieÄnderungen,die sich für sehrflacheWinkel ergeben,werden imUnterkapitel 7.1diskutiert.