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9.3 ÜbersichtderverwendetenSpezialfunktionen 235 (z+1)= z (z), (9.34) durchdiesiesichauchfürnegativeRealteilevonz fortsetzenlässt.Fürz =0undallenega- tivenganzenZahlenistdieFunktionsingulär,wiemanausderobigenRekursionsvorschrift erkennt. 9.3.3 DieHypergeometrischeFunktion DieHypergeometrischeFunktionkanndurchdiePotenzreihe 2F1(a,b;c;z) := ∞∑ n=0 (a+n) (b+n) (c) (a) (b) (c+n) zn (1+n), |z|≤1 (9.35) dargestelltwerden.DieFunktionistLösungderHypergeometrischenDifferenzialgleichung d2w dz2 z(1− z)+ [c−(a+b+1)z] dw dz −abw=0. (9.36) Diese hat, falls c keine nicht-positive ganze Zahl ist, in der Umgebung von z = 0 die allgemeineLösung [1,S.56] w(z)=C1 2F1(a,b;c;z)+C2 z1−c 2F1(1+a−c,1+b−c;2−c;z), (9.37) mitzwei IntegrationskonstantenC1 undC2. InderUmgebungvon z =1 istdieallgemeine Lösung, fallsc−a−bnicht-ganzzahlig ist, durch [1,S.108] w(z)=C1 2F1(a,b;1+a+b−c;1− z) +C2(1− z)c−a−b 2F1(c−a,c−b;1+c−a−b;1− z). (9.38) gegeben.Fallsckeinenicht-positiveganzeZahlundRe(c−a−b)> 0 ist, giltweiterhin [1,S.61] 2F1(a,b;c;1)= (c) (c−a−b) (c−a) (c−b). (9.39) AußerdemistunterdiesenVoraussetzungen [2] 2F1(a,b;c;z)= (1− z)c−a−b2F1(c−a,c−b;c;z) (9.40) undmitderReihendefinition(9.35)erhältmandurchgliedweiseDifferentiationfürpositive reelle zdieBeziehung √ z d dz [√ z 2F1 ( a,b;3 2 ;z )] = 1 2 2F1 ( a,b;1 2 ;z ) . (9.41)