Page - 7 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

2.1 Bewegungsgleichungen 7 vereinfacht–andererseitssinddanndieGradientenderundeformiertenOberflächenimKon- taktgebietklein.Diesistalssogenannte„Halbraumhypothese“unabdingbareVoraussetzung derkontaktmechanischenRechnungen imnächstenKapitel.Essei2adiecharakteristische Länge des Kontaktgebiets (bei einem kreisförmigenKontaktgebiet ist a der Radius). Da dies gleichzeitig die charakteristische Tiefe des deformiertenGebiets darstellt3, kann die genannteAnnahmeals 2a R 1, (2.5) mit einem charakteristischen Radius R von der Größenordnung der beidenKugelradien, geschriebenwerden.Andererseits ist dann imRahmendieserNäherung d R ≈ a 2 R2 1. (2.6) DieDifferenzderGeschwindigkeiten imKontaktpunktK, vK :=v2−v1− ( s1+s2 )×ez (2.7) definiertgemeinsammitez dieStoßebene.Die (rotierende)orthonormaleBasiswirddaher durchdieEinheitsvektoren ey := ez ×vK |ez ×vK| , (2.8) ex := ey ×ez (2.9) vervollständigt. 2.1.2 KinematikundDynamik DieZeitableitungenderVektorenr12 undvK sindwegenderDefinitionen(2.1), (2.2), (2.4) und (2.7)durch r˙12= r˙12ez +r12 ×ez, (2.10) r¨12= r¨12ez +2r˙12 ×ez +r12 ( ˙×ez + × ×ez ) , (2.11) v˙K = r¨12− [ s˙1+ s˙2+ ( s1+s2 )× ]×ez (2.12) 3DieFeldgleichungenderElastizitätstheorieenthaltenkeineintrinsischenLängenskalen;dieeinzige charakteristischeLängedesKontaktproblems ist daherdieLängedesKontaktgebiets.