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3.7 FunktionaleGradientenmedien 69 d(a)=β(n,k)Aan, β(n,k) := n 2 B ( n 2 , 1+k 2 ) (3.238) Fz(a)=− 2ncNβ(n,k)A (1+k)(n+k+1) a n+k+1, (3.239) mitder im AnhangdefiniertenvollständigenBeta-FunktionB(·, ·). Die entscheidende Größe für die dynamischen Eigenschaften eines Kontaktes ist die Kontaktsteifigkeit als Funktion der Eindrucktiefe d. Im Fall des Potenzprofils ergibt sich hierfür kz(d)= 2 1+kcN ( 1 β(n,k)A )1+k n d 1+k n . (3.240) Man erkennt, dass sich derselbe Zusammenhang auch für den Kontakt eines Indenters mit einemhomogenenelastischenHalbraummitdemeffektivenModul E˜ ergibt,wennmanden Exponent n˜ des Indenterprofilsentsprechend n˜ := n 1+k (3.241) wählt. Die dynamischen Eigenschaften eines Kontaktes mit einem FGM sind also durch ein bestimmtes homogenes Problem exakt abbildbar. Die Konstante A˜ des äquivalenten homogenenProblems14 ergibt sichzu A˜= A ( E˜ cN )n˜ (1+k)n˜β(n,k) β(n˜,0) . (3.242) 3.7.4 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsioninderJKR-Näherung DieTatsache,dassderJKR-adhäsive(reibungsfreie)Normalkontaktzwischeneinemaxial- symmetrischenstarrenIndenterundeinemelastischenHalbraumauseinerSuperpositiondes entsprechendennicht-adhäsivenProblemsmiteinerIndentierungdurcheinenflachenzylin- drischen Stempelhervorgeht, folgt unmittelbar ausder Gleichheit der gemischtenRandbe- dingungendesnicht-adhäsivenunddesJKR-adhäsivenProblemsund istdaherunabhängig von den elastischen Eigenschaften des Halbraums. Insbesondere gilt dies auch für die spe- zielle Form der elastischen Inhomogenität, die in diesem Unterkapitel behandelt wird, der Gradierung inder FormeinesPotenzgesetzes. Die Lösung des nicht-adhäsiven Problems wurde oben gezeigt. Bei der Herleitung der JKR-adhäsivenausdernicht-adhäsivenLösung(sieheAbschn.3.3.2)mussmaninGl.(3.54) nur den Ausdruck der (nicht-adhäsiven) inkrementellen Kontaktsteifigkeit aus Gl.(3.226) 14DieÄquivalenz erstreckt sichnatürlich nichtüber lokaleGrößen, wie z.B.Spannungen.