Page - 143 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

5.5 Elasto-PlastischerNormalstoßohneAdhäsion 143 5.5.1 TheoretischeModellierung Mithilfe der drei im Abschn.3.8.2 geschilderten theoretischen Modelle für den elasto- plastischenNormalkontakt vonKugeln soll imvorliegendenAbschnitt das entsprechende quasistatischeStoßproblemgelöstwerden.DietheoretischenVorhersagenwerdenanschlie- ßendmit experimentellenErgebnissenverglichen. ModellvonThornton DurchGl.(3.278)istderhysteretischeEnergieverlustfüreinenvollständigenBelastungszy- klusdesNormalkontaktes elasto-plastischerKugelnnachdemModell vonThorntongege- ben.DamitkannauchdasentsprechendeStoßproblemohneSchwierigkeitengelöstwerden [43].OhneBeschränkungderAllgemeinheit14 betrachtemaneine starreKugel derMasse m˜, diemitderGeschwindigkeitv0 aufeinenelasto-plastischenHalbraumtrifft. DerersteTerminGl.(3.278)beschreibtdieArbeit,diewährendderKompressionsphase verrichtet wird. Daraus folgt die bestimmendeGleichung zur Ermittlung dermaximalen Eindrucktiefe: m˜v20 2FYdY = 2 5 + 1 4 ( 3d2max d2Y −2dmax dY −1 ) . (5.101) Dabei istwegenGl.(3.266) FYdY = 4 3 ( 4π 5 )5(σ f E˜ )5 E˜R˜3. (5.102) DiekritischeGeschwindigkeitvY , dienötig ist, umplastischeDeformationenzu initiieren, ergibt sichausderBedingungdmax=dY , also v2Y = 16 15 ( 4π 5 )5(σ f E˜ )5 E˜R˜3 m˜ . (5.103) AlleErgebnisse indiesemUnterkapitel beziehen sichnatürlich auf denFallv0 ≥ vY .Aus denobigenGleichungenkannmandieexpliziteBeziehung dmax dY = 1 3 + 2 15 √ 30v20 v2Y −5 (5.104) für diemaximaleEindrucktiefewährend derKollision herleiten, aus der sichmithilfe der KontaktlösungdiegesamteKontaktkonfigurationamEndederKompressionsphaseergibt. FürdieStoßzahl erhältmanwegenGl.(3.278) 14ImThorntonschenModell gibt es keinenUnterschied zwischen demKontakt eines starren Ein- druckkörpersmit einemelasto-plastischenHalbraumunddemelasto-plastischerKörper.