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3.4 Tangentialkontakt 39 3.4.2 Cattaneo-Mindlin-Theorie DieGrundlagederUntersuchungdesparabolischenTangentialkontaktesunterBerücksich- tigungdes lokalenGleitenssinddieVerschiebungenderOberflächeeineselastischenHalb- raumsunter derEinwirkungder rotationssymmetrischenSchubspannungsverteilung σxz(r)= σ1 a √ a2−r2, r ≤a, (3.94) dieanalogzurHertzschenDruckverteilung(3.37) ist.MithilfederFundamentallösung(3.1) erhältman fürdieVerschiebungenderHalbraumoberfläche innerhalbdesKreisesr ≤a ux(x,y)= πσ1 32Ga [ 4(2−ν)a2−(4−3ν)x2−(4−ν)y2], r ≤a, (3.95) uy(x,y)= πσ1νxy 16Ga , r ≤a, (3.96) und außerhalbdesKontaktkreises ux(x,y)= σ1 16Ga (4−2ν) [ a √ r2−a2+(2a2−r2)arcsin(a r )] + + σ1 16Ga ν ( x2− y2) ⎡ ⎣arcsin(a r ) + a r ( 2a2 r2 −1 )√ 1− a 2 r2 ⎤ ⎦, r >a, (3.97) uy(x,y)= σ1νxy 8Ga ⎡ ⎣arcsin(a r ) + a r ( 2a2 r2 −1 )√ 1− a 2 r2 ⎤ ⎦, r >a. (3.98) Die ausführliche Herleitung der aufgeführten Gleichungen ist im Anhang dargelegt. Es sei außerdem angemerkt, dass die von Johnson [11, S.74 f.] angegebenen Ergebnisse im Fall der VerschiebungenaußerhalbdesKontaktkreises leicht fehlerhaft sind. Man betrachte nun folgende einfache Belastungsgeschichte: eine starre Kugel wird mit einer konstanten Normalkraft in den elastischen Halbraum gedrückt und anschließend tan- gentialverschoben.Dannistklar,dassbeieinemunendlichenReibbeiwertμdieOberflächen im Kontakt vollständig aneinander haften und die Schubspannungsverteilung im Kontakt daher durch Gl. (3.91) gegeben ist. Diese Spannungen divergieren aber am Rand des Kon- taktes, d.h. der Kontakt kann bei einem endlichen Reibbeiwert nicht vollständig haften, da die Spannungen am Rand des Kontaktgebiets grundsätzlich die Haftbedingung verletzen. Der Kontakt setzt sich alsoauseineminnerenHaft-und einemGleitgebiet zusammen. Cattaneo [56] und Mindlin [57] stellten unabhängig voneinander fest, dass aus den Ver- schiebungen (3.95) folgt, dass eine passende Differenz zweier Spannnungsverteilungen in der Form (3.94) mit zweiverschiedenenRadiena undc<a,