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234 9 Anhang 9.3 ÜbersichtderverwendetenSpezialfunktionen DiesesUnterkapitelbieteteineÜbersichtüberdiewichtigstennicht-elementarenFunktionen undderenEigenschaften,die indemvorliegendenBuchverwendetwerden. 9.3.1 ElliptischeIntegrale DieunvollständigenElliptischen IntegraleersterundzweiterArt sindals1 F(θ,k) := θ∫ 0 dϕ √ 1−k2sin2ϕ , (9.29) E(θ,k) := θ∫ 0 √ 1−k2sin2ϕdϕ, (9.30) definiert.Fürθ =π/2erhältmandievollständigenElliptischen Integrale K(k) := π/2∫ 0 dϕ √ 1−k2sin2ϕ =F(θ = π 2 ,k), (9.31) E(k) := π/2∫ 0 √ 1−k2sin2ϕdϕ=E(θ = π 2 ,k). (9.32) 9.3.2 DieGamma-Funktion DieEulerscheGamma-FunktionkannmanalsVerallgemeinerungderfürnatürlicheZahlen definierten Fakultätsfunktion auf reelle und komplexeDefinitionsbereiche verstehen. Für komplexeZahlenmitpositivemRealteilz isteinemöglicheDefinitionderGamma-Funktion durchdas Integral (z) := ∞∫ 0 tz−1exp(−t)dt (9.33) gegeben.DieGamma-Funktionerfüllt die rekursiveEigenschaft 1Manmuss beachten, dass inBüchern undmathematischenDatenbankenkeine einheitlichePraxis zur Verwendung desModuls der Elliptischen Integrale besteht, es wird teilweise k und teilweise m := k2 alsModulbenutzt.