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184 7 RäumlicheEffekte inelastischenStößenvonKugeln
dmax
R1+ R2 ≈ (
dmax
amax )2
, (7.3)
wobei dasVerhältnis d/a für dieGültigkeit derHalbraumhypothese klein seinmuss.Der
Stoßwinkel seinunsoflach,dass
vz,0
vx,0 ≈ dmax
amax . (7.4)
BisaufdenzentrifugalenAnteil(R1+ R2) 2 sinddannimmernochalle langsamendyna-
mischen Effekte vernachlässigbar klein. Das Stoßproblem kann deswegen weiterhin auf
den ebenenStoß einerKugel auf einenHalbraumzurückgeführtwerden,wobeiGl.(2.34)
allerdingsdurch
d¨ = Fz
m˜ − v 2
x
R1+ R2 −(R1+ R2) 2
x (7.5)
ersetztwerdenmuss.Dabei ist x eineKonstante, daweiterhinangenommensei, dassdie
Kontaktkraft in der Stoßebene liegt, die entsprechend nicht verlassenwird.DieGl.(2.33)
und (2.35) bleiben unverändert gültig.Der zentrifugaleAnteil der Beschleunigung2 sorgt
dabei offensichtlich für eine zusätzlicheAbstoßung (neben der Normalkraft imKontakt)
der Kugeln während der Kollision. Der Einfluss dieser zusätzlichen Abstoßung auf das
Stoßproblemsoll imFolgendenfürdenreibungsfreienStoßmitundohneAdhäsionundden
StoßmitReibunggenaueruntersuchtwerden.
7.1.1 ReibungsfreierStoßohneAdhäsion
ImFall des reibungsfreienStoßes verschwindet die tangentialeKomponente derKontakt-
kraft und vx istwährendderKollision konstant.Mit derLösungdesHertzschenKontakt-
problemserhältmanso
m˜ ( d¨+a0 )=−4
3 E˜ √
R˜d3, a0 := v2x,0
R1+ R2 +(R1+ R2) 2
x (7.6)
alsBewegungsgleichungmitdenAnfangsbedingungen
d˙(t =0)=|vz,0|, d(t =0)=0 (7.7)
2ImebenenModell istdasnatürlichkeinezentrifugaleKraft, sonderneinfacheinezusätzlicheKraft
inNormalenrichtung;trotzdemsollimFolgendendieBezeichnung„zentrifugal“beibehaltenwerden,
dadiesderphysikalischeUrsprungderbetrachtetenEffektebeider räumlichenKollision ist.
Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
Grundlagen und Anwendungen
- Title
- Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
- Subtitle
- Grundlagen und Anwendungen
- Author
- Emanuel Willert
- Publisher
- Springer Vieweg
- Location
- Berlin
- Date
- 2020
- Language
- German
- License
- CC BY 4.0
- ISBN
- 978-3-662-60296-6
- Size
- 17.3 x 24.6 cm
- Pages
- 258
- Keywords
- Engineering, Mechanics, Mechanics, Applied, Mechanics, Applied mathematics, Engineering mathematics
- Categories
- Naturwissenschaften Physik
- Technik
Table of contents
- 1 Einleitung 1
- Literatur 3
- 2 Kinematik und Dynamik räumlicher Stöße von Kugeln 5
- Literatur 14
- 3 Kontaktmechanische Grundlagen 17
- 3.1 Fundamentallösung des homogenen elastischen Halbraums 17
- 3.2 Reibungsfreier Normalkontakt ohne Adhäsion 20
- 3.3 Reibungsfreier Normalkontakt mit Adhäsion 25
- 3.4 Tangentialkontakt 38
- 3.5 Torsionskontakt 45
- 3.6 Viskoelastizität 52
- 3.6.1 Einführung 52
- 3.6.2 Das allgemeine linear-viskoelastische Materialgesetz 53
- 3.6.3 Berücksichtigung der Kompressibilität (Normalkontakt) 55
- 3.6.4 Rheologische Modelle 56
- 3.6.5 Behandlung viskoelastischer Kontaktprobleme nach Lee und Radok 61
- 3.6.6 Erweiterung auf beliebige Belastungsgeschichten 62
- 3.7 Funktionale Gradientenmedien 63
- 3.8 Plastizität 73
- 3.9 Zusammenfassung 84
- Literatur 87
- 4 Die Methode der Dimensionsreduktion in der Kontaktmechanik 95
- Literatur 110
- 5 Quasistatischer Normalstoß axialsymmetrischer Körper 113
- Literatur 153
- 6 Quasistatische ebene Stöße von Kugeln 157
- Literatur 181
- 7 Räumliche Effekte in elastischen Stößen von Kugeln 183
- Literatur 196
- 8 Ausgewählte Anwendungen von Stoßproblemen 197
- Literatur 222
- 9 Anhang 229
- Literatur 238
- Stichwortverzeichnis 239