Seite - 33 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

3.3 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsion 33 Maugis löste diese Aufgabe mit Methoden der Linear-Elastischen Bruchmechanik, indem er einen äußeren Riss unter Einfluss der Dugdale-Spannung betrachtete6. Die Herleitung vonMaugis istumfangreichunddaimnächstenKapiteleinedeutlicheinfachereHerleitung mithilfederMethodederDimensionsreduktiongezeigt ist,wirdandieserStelleaufdieDar- stellung des Lösungswegs von Maugis verzichtet. Man erhält für die Spannungsverteilung imGebietdesdirektenKontaktes σzz(r)=−2E˜ πR˜ √ a2−r2+ 2σm π arctan (√ b2−a2√ a2−r2 ) , r ≤a. (3.71) Der Zusammenhang zwischen der Eindrucktiefe d und den beiden Kontaktradien a und b ist d = a 2 R˜ − 2σm E˜ √ b2−a2 (3.72) und diegesamteNormalkraft beträgt Fz =−4 3 E˜ a3 R˜ +2σm [ b2 arccos (a b ) +a √ b2−a2 ] . (3.73) AußerdemführtdieForderung (3.70) aufdie Gleichung πh1 2 = arccos (a b )(b2 2R˜ −d ) + a 2R˜ √ b2−a2− 2σm E˜ (b−a). (3.74) Normiert man alle Größen auf die in den Gl. (3.62) gegebenen kritischen Werte in der JKR-Näherung undführt außerdemdieKürzel m := b a , := |d KS c | h1 (3.75) ein,könnendieGl.(3.72), (3.73)und(3.74)wiefolgt indimensionsfreierFormgeschrieben werden: dˆ =3aˆ2− 16 π aˆ √ m2−1, (3.76) Fˆz =−aˆ3+ 4 π aˆ2 [ m2 arccos ( 1 m ) + √ m2−1 ] , (3.77) 1= 32 π2 2aˆ [ arccos ( 1 m )√ m2−1−m+1 ] + + 3 aˆ 2 π [( m2−2 ) arccos ( 1 m ) + √ m2−1 ] . (3.78) 6Der Rand des direkten Kontaktes stellt die Spitze eines externen axialsymmetrischen Risses dar; für eine ausführliche Diskussion der Parallelen zwischen Kontakt- und Bruchmechanik sei auf die Arbeit vonGiannakopoulos et al. [43]verwiesen.