Seite - 42 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

42 3 KontaktmechanischeGrundlagen verallgemeinern.DiezugehörigenWertedertangentialenStarrkörperverschiebungundTan- gentialkraft könnenals ux,0,B(ai,aj) := μE˜ G˜ ( a2i R˜ − a 2 j R˜ ) = μE˜ G˜ [ g(ai)−g(aj) ] , (3.107) Fx,B(ai,aj) := 4 3 μE˜ R˜ ( a3i −a3j ) =−μ[Fz(ai)−Fz(aj)] (3.108) geschrieben werden. Man überzeugt sich außerdem leicht davon, dass die eingeführten BasisspannungendieSuperpositionsregel σB(r;ai,aj)+σB(r;aj,ak)=σB(r;ai,ak), ai >aj >ak, (3.109) erfüllen. ManbetrachtenuneinenKontaktnacheinereinzigenCattaneo-Mindlin-Belastung.Das Kontaktgebiet mit dem Radius a1 besteht aus einem Haftgebiet mit dem Radius c1 und einem Gleitgebiet c1 < r ≤ a1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei angenommen, dass ux,0,1 >0.Die Verteilungder Tangentialspannungen ist alsodurch σxz(r)=σB(r;a1,c1) (3.110) gegeben. Nun wird die Eindrucktiefe um d und anschließend die tangentiale Starrkör- perverschiebung um ux,0 verändert7. Da sich bei jeder (noch so kleinen) tangentialen BelastungvomRanddesKontakteseinGleitgebiet ausbreitet, zerfällt dasneueKontaktge- biet mit dem Radius a2 wiederum in ein Haftgebiet mit dem Radius c2 und ein Gleitgebiet c2 < r ≤a2.GrundsätzlichmüssenzweiFälleunterschiedenwerden:einwachsendesKon- taktgebiet mit a2 > a1 (also d > 0) und ein schrumpfendes Kontaktgebiet mit a2 < a1 (also d <0).DerSpezialfalleineskonstantenKontaktradius (also d =0)ergibt sich in beidenVariantenelementar alsGrenzfall. Kontaktgebietwächst Wenn das Kontaktgebiet wächst, gibt es zunächst – bevor die zusätzliche tangentiale Ver- schiebung ux,0 aufgebrachtwird–einenPunktvollständigenHaftens.Danachbreitetsich dasGleitgebieterneutvomRanddesKontaktesnachinnenaus.Solangec2 >a1, lautendie Randbedingungen für das Differenzproblem (zwischen den Zuständen mit den Indizes „1“ und „2“)dannwie folgt: ux(r)= ux,0 , r ≤ c2, (3.111) | σxz(r)|=μ|σzz(r)|, c2 < r ≤a2. (3.112) Dies ist aber selbst einCattaneo-Mindlin-ProblemmitderentsprechendenLösung 7Beide Inkremente können aber müssennicht zwangsläufig infinitesimal sein [60].