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60 3 KontaktmechanischeGrundlagen Abb.3.10 Das Standardelement (links), eine Prony-Reihe in Form eines verallgemeinerten Max- well-Elements (mitte) und ein Kelvin-Maxwell-Element (rechts). Die verwendeten Größen können dem Textentnommen werden G∞ = ∑ τk τ Gk, (3.196) η0 = ∑ τk τ ηk. (3.197) Es entsteht dann eine Parallelschaltung aus einem Kelvin-Voigt- mit einem Maxwell- Element, dessen Relaxationszeit genau der Zeitskala τ entspricht. Die gesamte Relaxati- onsfunktiondiesesKelvin-Maxwell-Körpers ist elementarerweisedurch G(t)=G∞+G1exp ( −G1 η1 t ) +η0δ(t), η1 =G1τ, (3.198) gegeben. Dieses rheologische Element besitzt nur drei freie Parameter (die Zeitskala τ ist durch das Kontaktproblem vorgegeben) und ist deswegen sehr einfach zu implementieren undzuuntersuchen.Andererseits istdasModellgleichzeitigsehrallgemein,daesauseiner beliebigkompliziertenProny-Reihehervorgeht. Abb.3.10zeigtschematischeDarstellungenderrheologischenModelledesStandardkör- persunddesbeschriebenenKelvin-Maxwell-KörperssowieeineProny-ReiheinFormeines verallgemeinertenMaxwell-Modells. DasrheologischeModell füreinallgemeineskompressiblesMedium Es soll zum Abschluss der Betrachtung rheologischer Modelle noch einmal kurz auf den Kontakt mit kompressiblen Medien eingegangen werden, allerdings ohne eine spezielle Rheologie zu berücksichtigen, das heißt, für ein beliebiges Relaxationsverhalten bei Sche- rung oderKompression, ausgedrücktdurchdiebeidenMaterialfunktionen G(t)und K(t). Während die analytische Rücktransformation von Gl. (3.184) im Allgemeinen sehr schwierig sein kann, ist es sehr einfach, das rheologische Modell zu konstruieren, das die äquivalente Scher-Kriechfunktion W(t)+W1(t) aufweist, welche nötig ist, um das kom- pressible Medium für den Normalkontakt durch ein äquivalentes inkompressibles Medium zu ersetzen: es ist einfach eine Reihenschaltung der rheologischen Modelle, welche die Relaxationsfunktionen G(t) und G1(t) reproduzieren. Dabei ist wegen Gl.(3.184) G1(t) eine einfache Superposition, also Parallelschaltung, der Relaxationen K(t) und G(t)/3. Dasvollständige rheologischeModell ist inAbb.3.11 gezeigt.