Seite - 68 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

68 3 KontaktmechanischeGrundlagen diegesamteNormalkraft,dieSpannungsverteilungunddieVerschiebungennachAbschluss des Indentierungsvorgangs [97]: Fz =−2cN a∫ 0 [d−g(x)]xkdx, (3.229) σzz(r)=−cN π a∫ r g′(x)dx√( x2−r2)1−k , r ≤a, (3.230) uz(r)=−2 π cos ( kπ 2 ) min(r,a)∫ 0 xk [d−g(x)]dx√( r2−x2)1+k . (3.231) Die Verschiebungen innerhalb des Kontaktes sind durch den Eindruckkörper vorgegeben, also f(r)= 2 π cos ( kπ 2 ) r∫ 0 xkg(x)dx√( r2−x2)1+k . (3.232) Dies ist eineverallgemeinerteAbel-Transformation,diemitdemErgebnis [97] g(x)=|x|1−k |x|∫ 0 f ′(r)dr√( x2−r2)1−k (3.233) invertiert werden kann. Damit ist das Kontaktproblem in allgemeiner Form gelöst. Für den parabolischenKontaktmitdemKrümmungsradius R˜ inderNähedesKontaktesergibtsich g(x)= x 2 R˜(1+k), (3.234) d = a 2 R˜(1+k), (3.235) Fz =− 4cNa 3+k R˜(1+k)2(3+k), (3.236) σzz(r)=− 2cN πR˜(1+k)2 √( a2−r2)1+k, r ≤a, (3.237) was im homogenenFallk =0 natürlichmitderHertzschenLösungübereinstimmt. Für ein Profil in der Form eines Potenzgesetzes (siehe Gl. (3.38)) lautet die Lösung des Kontaktproblems fürdie makroskopischenGrößenwie folgt: