Seite - 102 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

102 4 DieMethodederDimensionsreduktioninderKontaktmechanik DiegesamteTangentialkraft ist Fx,B(a,c)=2μE˜ ⎡ ⎣ a∫ 0 a2 R˜ − x 2 R˜ dx− c∫ 0 c2 R˜ − x 2 R˜ dx ⎤ ⎦=−μ[Fz(a)−Fz(c)] (4.33) unddiesichausderStreckenlast (4.32)wegenGl.(4.26)ergebendeVerteilungvonTangen- tialspannungen imaxialsymmetrischenKontinuumlautet σxz,B(r;a,c)=−μ π ⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ a∫ c q′z(x)√ x2−r2dx, r≤ c, a∫ r q′z(x)√ x2−r2dx, c< r≤a, =−μ { σzz(r;a)−σzz(r;c), r≤ c, σzz(r;a), c< r≤a. (4.34) Offensichtlich reproduzieren dieGl.(4.31), (4.33) und (4.34) dieLösungdesKontaktpro- blemsausdenGl.(3.107), (3.108)und (3.106). DieAnwendungdes lokalenReibgesetzes fürdieFedernder elastischenBettung liefert aber auch bei beliebigen Belastungsgeschichten die korrekten Federverschiebungen, die notwendig sind,umdieLösungdesaxialsymmetrischenProblemsexakt zu reproduzieren. Aus Platzgründen sollen hier nicht alle einzelnen Fälle demonstriert, sondern nur anhand einesweiterenBeispiels gezeigtwerden,wiemandasReibgesetz verwendenmuss.Dazu werde nach einer einzelnen Cattaneo-Mindlin-Belastung die Eindrucktiefe um d < 0 reduziertundanschließendsotangentialverschoben,dassdasneueHaftgebietgrößer istals dasalte,c2> c1.WegenGl.(3.125) istklar,dassdiekorrektenInkrementeder tangentialen Verschiebungendurch u1Dx (x)=−u1Dx,B(x;a1,c2)−u1Dx,B(x;a2,c2) (4.35) gegebensind.Anwendungdes lokalenReibgesetzes liefert dagegen2 u1Dx (x)=μ E˜ G˜ ⎧⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ G˜ ux,0 μE˜ , |x|≤ c2, g(x)−g(a2)−g(a1)+g(x), c2< |x|≤a2, g(x)−g(a1), a2< |x|≤a1. (4.36) DadieVerschiebungenstetigbei |x|= c2 sind,erhältmandenGl.(3.119)reproduzierenden Zusammenhang ux,0=μ E˜ G˜ [2g(c2)−g(a2)−g(a1)]=− [ ux,0,B(a1,c2)+ux,0,B(a2,c2) ] (4.37) 2Manbedenke,dasseswegenc2> c1 zueinerUmkehrderSlip-Richtungkommenmuss.DieSlip- Richtungeiner einzelnenFederwirddabei durchdieRichtungderAuslenkungvorgegeben, diedie Federhätte,wennsiehaftenkönnte.