Seite - 106 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

106 4 DieMethodederDimensionsreduktioninderKontaktmechanik qz(x, t)=4 t∫ 0 G(t− t′)∂u 1D z ∂t′ dt′. (4.53) WennderKontaktradiusmonotonwächst,kommenneueElementederBettunggrundsätzlich unausgelenkt inKontakt, derZusammenhang zwischenKontaktradius und Indentierungs- tiefe ist daherdurchdenelastischenZusammenhang d(t)=g(a(t))=del(a(t)) (4.54) gegeben,derGl.(3.202) reproduziert.AußerdemsinddieNormalspannungen imrotations- symmetrischenSystemfüreinenmonotonwachsenKontaktradiuswegenGl.(4.6)durchdie Beziehung σzz(r, t)=−4 π t∫ 0 G(t− t′) ∂ ∂t′ ⎡ ⎢⎣ a(t′)∫ r dg dx dx√ x2−r2 ⎤ ⎥⎦ dt′ = t∫ 0 G(t− t′)∂σ el zz ∂t′ (r, t′)dt′. (4.55) gegeben,dieGl.(3.201) reproduziert.DieelastischeLösungσelzzwurdedabei inGl.(3.199) definiert. FürdenFall, dassderKontaktradius ein einzelnesMaximumaufweist, sei nocheinmal aufdieerläuterndeSkizzeinAbb.3.12verwiesen.DerZeitpunkt,andemderKontaktradius seinMaximumannimmt,sei tm.Füralle t≤ tmkanndasKontaktproblemaufobigeArtund Weise gelöstwerden.Außerdemexistiert für alle t > tm einZeitpunkt t1(t) < tm, sodass derKontaktradiusbei tund t1dengleichenWertannimmt.DasIntegralaufderrechtenSeite vonGl.(4.53)wirdnun inderForm qz(x, t)=4 t1(t)∫ 0 G(t−t′)∂u 1D z ∂t′ dt′+4 t∫ t1(t) G(t−t′)d˙(t′)dt′−4g(x) t∫ t1(t) G(t−t′)δ(t′)dt′, (4.56) mitderDirac-Distributionδ(·),aufgespalten.WegenderenFiltereigenschaftenverschwindet das dritte Integral, falls a(t) = 0. Das zweite Integral ist unabhängig von x, die ganze Gleichung ist aber für alle x≤a(t)gültig. Insbesondere ist bei x=a(t): t∫ t1(t) G(t− t′)d˙(t′)dt′ =0, (4.57) wassichnachTing [13]zuGl.(3.207)umstellen lässt.Damit ist außerdem qz(x, t)=4 t1(t)∫ 0 G(t− t′)∂u 1D z ∂t′ dt′, (4.58)