Seite - 144 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

144 5 QuasistatischerNormalstoßaxialsymmetrischerKörper z = vY v0 [ Rp R˜ ( dmax−dres dY )5]1/4 . (5.105) Dabei sind derKrümmungsradius Rp während der Restitution und die Resteindrucktiefe dres durchdieGl.(3.273)und(3.274)gegeben.FürsehrgroßeGeschwindigkeitenv0 erhält mandieasymptotischeNäherung z ≈1,185 ( v0 vY )−1/4 . (5.106) Interpolation imelasto-plastischenBereich DaauchimInterpolationsmodelldieEntlastungalseinelastischerProzessmiteinemdurch dievorangegangeneplastischeDeformationverändertenKrümmungsradiusbetrachtetwird, behältGl.(5.105)fürdieStoßzahl ihreGültigkeit.AllerdingsmussdiemaximaleEindruck- tiefewegenGl.(3.288)alsLösungderGleichung v20 v2Y =1+ 5 2 ( dmax dY −1 ) + 15 8 ( dmax dY −1 )2 + 5C2 6 ( dmax dY −1 )3 + 5C3 8 ( dmax dY −1 )4 (5.107) bestimmtwerden,wobeidieKonstantenC2undC3 inGl.(3.285)gegebensind.Esseiaußer- demangemerkt, dassdieobigeGl.(5.107)nurgültig ist, falls nicht indenvoll-plastischen Bereich hinein belastet wird. Die Änderungen, die sich bei der Belastung in den voll- plastischen Bereich ergeben, bereiten allerdings keine Schwierigkeiten und wurden nur ausPlatzgründenausgespart.DieWertevonRp unddres ergeben sichunterZuhilfenahme derZusammenhänge (3.284)und (3.287)ausdenGl.(3.273)und (3.274). AnalytischeApproximationvonFEM-Lösungen DieinAbschn.3.8.2dargestellte,durchdieanalytischeApproximationvonrigorosenFEM- LösungengewonneneLösungvon Jackson et al. [44] für denNormalkontakt einer elasto- plastischenKugelmit einemelasto-plastischenHalbraumkannmanohneSchwierigkeiten indieBewegungsgleichungderKugel einsetzen.Durchnumerische Integrationdesentste- hendenGleichungssystems löst man das entsprechende Stoßproblem.Da, wie im dritten Kapitelbeschrieben, fürdenelasto-plastischenKontaktdiemakroskopischeFormderkon- taktierendenKörperbeigroßenEindrucktiefeneine,wennauchgeringe,Rolle spielt, kann dabeidiegezeigteKontaktlösungunddiedamiterhalteneLösungdesStoßproblemsimAll- gemeinen (besonders für großeGeschwindigkeiten) nicht ohneWeiteres für dieKollision elasto-plastischerKugelnherangezogenwerden. Durch numerische Experimente lässt sich leicht zeigen, dass die Stoßzahl in diesem Modell fast ausschließlich von demVerhältnis v0/v∗Y(ν) abhängt, wobei v∗Y die kritische Geschwindigkeit bezeichnet, dienötig ist, umindemModell plastischeDeformationenzu erzeugen,unddiedurchdieBeziehung