Seite - 159 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

6.1 ElastischerschieferStoßohneGleiten 159 vˆx,K(ξ)=C1 2F1 ( 1+φ 20 , 1−φ 20 ;3 5 ;ξ ) (6.8) +C2ξ2/52F1 ( 9+φ 20 , 9−φ 20 ;7 5 ;ξ ) , φ :=√1+240χ, mit der ebenfalls imAnhanggegebenenHypergeometrischenFunktion 2F1.Die Integrati- onskonstantenC1 undC2 ergebensichausdenAnfangs-, bzw.Randbedingungen: vˆx,K(ξ =0)=C1= tanα, dvˆx,K dtˆ (ξ =0)= 5 2 C2=0, (6.9) wobeiderEinfallswinkelαderBewegungdesKontaktpunktes inGl.(2.58)definiertwurde. AmUmkehrpunkt ergibt sichdamitdieGeschwindigkeit vˆx,K(ξ =1)= tanα 2F1 ( 1+φ 20 , 1−φ 20 ;3 5 ;1 ) = tanα √ π (3/5) ( 11+φ 20 ) ( 11−φ 20 ). (6.10) DieTangentialkraftergibt sichausGl.(6.1)mithilfevonGl.(6.6)undder imAnhanggege- benenBeziehung(9.40)zu Fx(ξ)= l tanαFN,max ξ3/52F1 ( 11+φ 20 , 11−φ 20 ;8 5 ;ξ ) , (6.11) mitdermaximalenNormaldruckkraftFN,max ausGl.(5.9). Restitutionsphase WährendderRestitutionsphasekehrt sichdasVorzeichenderNormalgeschwindigkeit um, sodassGl.(6.6)durch dξ dtˆ =−5 2 ξ3/5(1−ξ)1/2 (6.12) ersetzt werdenmuss. Außerdem gibt es für jeden Zeitpunkt1 t > TS/2 einen Zeitpunkt tc(t)= TS− twährendderKompressionsphase, sodassa(t)= a(tc).Da zukeinemZeit- punktlokalesGleitenzugelassenwird,istdieDifferenzderTangentialkräftezwischendiesen beidenZeitpunktendurchdieerfolgtetangentialeVerschiebungdesKontaktgebietsmitdem Radiusa(t)alsGanzesvorgegeben: Fx(t)−Fx(tc)=2G˜a(t) [ uK,x(t)−uK,x(tc) ] . (6.13) DaweiterhindieBewegungsgleichung(6.1) sowohl fürdieKompressions-alsauchfürdie Restitutionsphasegültigist, istdieBewegungsgleichungfürdieDifferenzderVerschiebung, u∗x,K(t) :=ux,K(t)−ux,K(tc), (6.14) 1TS ist die inGl.(5.12)gegebeneStoßdauer.