Seite - 29 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

3.3 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsion 29 angehoben,dieNormalkraft ist dann Fz = Fn.a.z +kn.a.z l. (3.50) DiegesamteEnergiedesSystemsamSchlussdesVorgangsbeträgt(unterBerücksichtigung der Oberflächenenergie) Utot =Un.a.el + kn.a.z 2 l2+Fn.a.z l−πa2 γ. (3.51) Beivorgegebener (konstanter)Eindrucktiefed ist ∂ l ∂a = ∂d n.a. ∂a . (3.52) Der Kontaktradius stellt sich so ein, dass die Gesamtenergie des Systems minimal ist. Das führt aufdienotwendigeBedingung ∂Utot ∂a =−Fn.a.z ∂dn.a. ∂a + l 2 2 ∂kn.a.z ∂a +kn.a.z l ∂ l ∂a −kn.a.z ∂dn.a. ∂a l+Fn.a.z ∂ l ∂a −2πa γ =0, (3.53) diebeikonstanterEindrucktiefeaufdieBeziehung l =± √ 4πa γ ∂kn.a.z /∂a =± √ 2πa γ E˜ . (3.54) führt. Dabei entsprichtderpositiveWert einemMinimumderGesamtenergie. Die Lösung des parabolischen Kontaktes ist mit den Ergebnissen aus dem vorherigen Unterkapitel3.2 damitdurch d(a)= a 2 R˜ − √ 2πa γ E˜ , (3.55) Fz(a)=−4 3 E˜ a3 R˜ + √ 8πa3 γ E˜, (3.56) gegeben. MitderBedingung(3.53)wurdeeinGleichgewichtszustandgefunden,überdieStabilität diesesGleichgewichtsabernochkeineAussagegetroffen.WirddieKugelohneKontaktauf denHalbraumzubewegt,gibtesimZustanddererstenBerührung,d =0,zweiLösungender Gl.(3.55)fürdenKontaktradius,vondenenallerdings,wiemansichleichtüberzeugt,nur a0 = ( 2π γ R˜2 E˜ )1/3 (3.57)