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3.3 ReibungsfreierNormalkontaktmitAdhäsion 29
angehoben,dieNormalkraft ist dann
Fz = Fn.a.z +kn.a.z l. (3.50)
DiegesamteEnergiedesSystemsamSchlussdesVorgangsbeträgt(unterBerücksichtigung
der Oberflächenenergie)
Utot =Un.a.el + kn.a.z
2 l2+Fn.a.z l−πa2 γ. (3.51)
Beivorgegebener (konstanter)Eindrucktiefed ist
∂ l
∂a = ∂d n.a.
∂a . (3.52)
Der Kontaktradius stellt sich so ein, dass die Gesamtenergie des Systems minimal ist. Das
führt aufdienotwendigeBedingung
∂Utot
∂a =−Fn.a.z ∂dn.a.
∂a + l 2
2 ∂kn.a.z
∂a +kn.a.z l ∂ l
∂a −kn.a.z ∂dn.a.
∂a l+Fn.a.z ∂ l
∂a −2πa γ =0,
(3.53)
diebeikonstanterEindrucktiefeaufdieBeziehung
l =± √
4πa γ
∂kn.a.z /∂a =± √
2πa γ
E˜ . (3.54)
führt. Dabei entsprichtderpositiveWert einemMinimumderGesamtenergie.
Die Lösung des parabolischen Kontaktes ist mit den Ergebnissen aus dem vorherigen
Unterkapitel3.2 damitdurch
d(a)= a 2
R˜ − √
2πa γ
E˜ , (3.55)
Fz(a)=−4
3 E˜ a3
R˜ + √
8πa3 γ E˜, (3.56)
gegeben.
MitderBedingung(3.53)wurdeeinGleichgewichtszustandgefunden,überdieStabilität
diesesGleichgewichtsabernochkeineAussagegetroffen.WirddieKugelohneKontaktauf
denHalbraumzubewegt,gibtesimZustanddererstenBerührung,d =0,zweiLösungender
Gl.(3.55)fürdenKontaktradius,vondenenallerdings,wiemansichleichtüberzeugt,nur
a0 = (
2π γ R˜2
E˜ )1/3
(3.57)
Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
Grundlagen und Anwendungen
- Title
- Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin
- Subtitle
- Grundlagen und Anwendungen
- Author
- Emanuel Willert
- Publisher
- Springer Vieweg
- Location
- Berlin
- Date
- 2020
- Language
- German
- License
- CC BY 4.0
- ISBN
- 978-3-662-60296-6
- Size
- 17.3 x 24.6 cm
- Pages
- 258
- Keywords
- Engineering, Mechanics, Mechanics, Applied, Mechanics, Applied mathematics, Engineering mathematics
- Categories
- Naturwissenschaften Physik
- Technik
Table of contents
- 1 Einleitung 1
- Literatur 3
- 2 Kinematik und Dynamik räumlicher Stöße von Kugeln 5
- Literatur 14
- 3 Kontaktmechanische Grundlagen 17
- 3.1 Fundamentallösung des homogenen elastischen Halbraums 17
- 3.2 Reibungsfreier Normalkontakt ohne Adhäsion 20
- 3.3 Reibungsfreier Normalkontakt mit Adhäsion 25
- 3.4 Tangentialkontakt 38
- 3.5 Torsionskontakt 45
- 3.6 Viskoelastizität 52
- 3.6.1 Einführung 52
- 3.6.2 Das allgemeine linear-viskoelastische Materialgesetz 53
- 3.6.3 Berücksichtigung der Kompressibilität (Normalkontakt) 55
- 3.6.4 Rheologische Modelle 56
- 3.6.5 Behandlung viskoelastischer Kontaktprobleme nach Lee und Radok 61
- 3.6.6 Erweiterung auf beliebige Belastungsgeschichten 62
- 3.7 Funktionale Gradientenmedien 63
- 3.8 Plastizität 73
- 3.9 Zusammenfassung 84
- Literatur 87
- 4 Die Methode der Dimensionsreduktion in der Kontaktmechanik 95
- Literatur 110
- 5 Quasistatischer Normalstoß axialsymmetrischer Körper 113
- Literatur 153
- 6 Quasistatische ebene Stöße von Kugeln 157
- Literatur 181
- 7 Räumliche Effekte in elastischen Stößen von Kugeln 183
- Literatur 196
- 8 Ausgewählte Anwendungen von Stoßproblemen 197
- Literatur 222
- 9 Anhang 229
- Literatur 238
- Stichwortverzeichnis 239