Seite - 211 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

8.3 GranulareMedien 211 (Hertzschen)KontaktesbreitensichdieStörungennicht inderFormharmonischerWellen, sondernalsSolitonen14aus,daesfürbenachbarteKugelnenergetischnichtsinnvollist,über längereZeiträumerelativzueinanderingestörterPositionzuverharren[61].DieseSolitonen tretennichtnur in (Hertzschen)granularenKettenauf15 undwaren inden letzten20Jahren GegenstandintensiverForschung;untersuchtwurdebeispielsweisedasReflexionsverhalten andenKettenenden[63],dieBeeinflussungderStörungsausbreitungdurchdieVorspannung [64] und der Einfluss der Plastizität [65]. Die genaue Form derWechselwirkung in den einzelnenKontaktenbeeinflusst dabeimaßgeblich dieEigenschaften unddieAusbreitung derSolitonen. Ein weiteres interessantes Problem, das direkt mit den Ergebnissen der vergangenen Kapitel diesesBuchesverknüpft ist, ist derEnergietransferdurcheinegranulareKettevon N+1 freien (harten) Kugeln. DieKugeln seien dabei nicht von vornherein in direktem KontaktundwechselwirkendahernurdurchbinäreStöße.DerAbstandzwischendenKugeln sei dabei sogroß, dassnurdie ersteKollisionzwischenzweibenachbartenKugeln fürden Energietransport relevant ist;dieMassederKugelnseimk,wobeik=0,1,2,...denIndex derKugelinderKettebezeichnet.DieersteKugelhabedieGeschwindigkeitv0,alleanderen Kettenglieder ruhen.DasGliedmit demIndex k+1hat nachderKollisionmit derKugel kwegenGl.(2.49)dieGeschwindigkeit vk+1= mk mk+mk+1 [1+ (vk)]vk, (8.6) mit der, im allgemeinen geschwindigkeitsabhängigen, Stoßzahl .Man kann nun fragen, wie dieMassenmk verteilt seinmüssen, damit einemöglichst großeEnergiemengedurch dieKette transportiertwerdenkann.FallsdieStoßzahlkonstant ist, führtdieBedingungfür einMaximumvonvN aufdieRelation mk−1 mk = mk mk+1 , (8.7) beziehungsweise (fallsdasVerhältnismN/m0 vorgegeben ist) mk =m0 ( mN m0 )k/N . (8.8) Abb.8.4zeigtdieEnergieeffizienz UN U0 =mNv 2 N m0v20 =mN m0 [ 1+ 1+(mN/m0)1/N ]N (8.9) als Funktion der Kettenlänge für verschiedene VerhältnissemN/m0 und = 0,9. Die Energieeffizienz ist bei einer konstantenStoßzahl invariant gegenüber einer Inversion des 14Dassindeinzelne lokalisierteWellenpakete. 15siehedieÜbersichtvonSenet al. [62].