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3.2 ReibungsfreierNormalkontaktohneAdhäsion 23 wobei der Hochstrich die Ableitung nach dem Argument bezeichnet. Die Verschiebungen desHalbraumssind durch uz(r)=−2 π min(r,a)∫ 0 arcsin (x r ) g′(x)dx − a∫ max(r,a) g′(x)dx (3.29) gegeben,was sich wiederumnachpartieller Integrationzu uz(r)=−2 π min(r,a)∫ 0 d−g(x)√ r2−x2 dx (3.30) vereinfachen lässt.AusderÄquivalenzvon (3.24)und (3.30) innerhalbdesKontaktgebiets folgt: f(r)= 2 π r∫ 0 g(x)√ r2−x2 dx. (3.31) Dies ist eineAbeltransformation,diemanmitdemErgebnis [14,S.353] g(x)= d dx ⎡ ⎣ |x|∫ 0 rf(r)√ x2−r2 dr ⎤ ⎦=|x| |x|∫ 0 f ′(r)√ x2−r2 dr (3.32) invertieren kann. Die Gl.(3.25), (3.27), (3.28), (3.30) und (3.32) reproduzieren die Lösung des rotationssymmetrischenBoussinesq-Problemsvon Föppl-Schubert-Galin-Sneddon. FürdenNormalkontaktzwischeneinerstarrenKugelmitdemRadius R˜ undeinemelas- tischen Halbraum erhält man im Rahmen der Halbraumnäherung a R˜ das parabolische Profil f(r)≈ r 2 2R˜ . (3.33) Die Lösung in der parabolischen Näherung geht auf die klassische Arbeit von Hertz [15] zurück, die exakte Kugelform wurde von Segedin [16] zuerst behandelt. Allerdings unter- scheidet sich die Lösung der Kugel selbst für Werte R˜ ≈ 4a, die die Halbraumhypothese bereitsgrobverletzen,nursehrgeringfügigvonderdesParaboloids[17,S.21f.].Setztman die parabolische Näherung (3.33) in die oben abgeleiteten Gleichungen der allgemeinen Lösung ein,findetmandie Beziehungen