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3.6 Viskoelastizität 59 Für G∞ → 0 ergeben sich natürlich die Ausdrücke des Maxwell-Mediums, für G1 →∞ hingegendiedesKelvin-Voigt-Körpers. Prony-Reihen Das oben beschriebene Standard-Medium weist nur auf einer einzigen charakteristischen Zeitskala τ Spannungsrelaxation auf. Die Relaxation durch die „Entflechtung“ der Poly- mermoleküle istaber inWirklichkeiteinaufmehrerenLängen-undZeitskalenablaufender Prozess.Ein realesElastomerweistdahermehrerecharakteristischeRelaxationszeitenauf. Um dies in einem rheologischen Modell abzubilden, konstruiert man sogenannte „Prony- Reihen“.EskommendafürverallgemeinerteMaxwell-oderverallgemeinerteKelvin-Voigt- Elemente in Frage. Bei einem verallgemeinerten Maxwell-Modell wird das beschriebene Standardmodell um eine beliebige Anzahl von Maxwell-Elementen mit den Modulen Gk unddenViskositätenηk inParallelschaltungergänzt.DergesamtezeitabhängigeModul ist dann G(t)=G∞+ N∑ k=1 Gk exp ( − t τk ) , τk := ηk Gk . (3.194) Durch denÜbergangzu einemkontinuierlichenSpektrumergibt sich dieTransformation G(t)=G∞+ ∞∫ 0 g(s)exp(−st)ds, (3.195) durch die sich wegen der Existenz und Eindeutigkeit der Inversen Laplace-Transformation beliebiges linear-viskoelastischesMaterialverhalten indemrheologischenModellabbilden lässt. Technische Pronyreihen nutzen in der Regel 15 bis 30 verschiedene logarithmisch skalierteRelaxationszeiten. DerKelvin-Maxwell-Körper Wenn das betrachtete Kontaktproblem eine eigene Zeitskala τ hat, z.B. eine charakteris- tische Dauer11, spielen die Relaxationsprozesse, die auf eben dieser Zeitskala ablaufen eine dominierende Rolle. Alle anderen Relaxationen können, zumindest in guter Nähe- rung, entweder als unendlich langsam oder als unendlich schnell betrachtet werden. Die verschiedenenMaxwell-ElementederProny-ReihemitgroßenRelaxationszeitenkannman daher in diesem Fall zu einer einzelnen Feder mit dem Modul G∞ (gemeinsam mit dem tatsächlichen statischen Modul) zusammenfassen, während die Elemente mit sehr kleinen Relaxationszeiten ineinemeinzelnenDämpfermitderViskositätη0 aufgehen: 11BeiStoßproblemenhatdiesecharakteristischeDauer inderRegeldieGrößenordnungvoneinigen Millisekunden.